Изображения и оригиналы обычно обозначаются одинаково, а их связь - знаком условного равенства:

1=1(0, a(p)a(t), y(p)=Y{t) и т. п.

С внешней стороны операторный метод во многом сходен

, с символическим. Изображения выходного и входного сигналов связаны линейно:

вых(Р) = ®(Р) вх(/). (П1.17)

подобно комплексным амплитудам в (ГЦ .2).

Операторная функция схемы в(р) получается тем же путем,

что и комплексная функция в(у(й), только вместо символических

сопротивлений JaL, используются операторные сопротивления

Из (П1.17) следует, что операторная функция является изображением реакции схемы на единичную ступеньку, поскольку при (О =1(0 будет аз (;?)=1.

Оригинал операторной функции в (О, т. е. реакция на единичную ступеньку, называется переходной функцией схемы. В зависимости от размерностей выходной и входной величин переходная функция может быть проводимостью Y{t), сопротивлением Z{t) или безразмерным коэффициентом передачи K{t) **).

Переходная функция 0(0 определяется по операторной функции в(р) путем обратного преобразования (П1.16). Это обратное преобразование является часто очень сложным. С этой точки зрения операторный метод может оказаться ничем не проще метода рядов или интегралов Фурье. Популярность операторного метода объясняется отнюдь не его особой простотой, а наличием в литературе таблиц, связывающих оригиналы и изображения наиболее распространенных функций. Благодаря наличию таблиц удается в большинстве практических задач избежать необходимости интегрирования.

Популярность операторного метода станет еще более понятной, если учесть, что ступенчатый сигнал является не только математической

*) Символические сопротивления более привычны и кажутся более физическими , поскольку модуль оператора /ш -угловая частота со - может быть измерен, тогда как модуль оператора р не имеет наглядной интерпретации. Однако, строго говоря, оба оператора одинаково условны, так как /м в целом-это отнюдь не частота.

**) На первый взгляд странно, что, например, проводимость является функцией времени. Вспомним, однако, что это имеет место и при синусоидальном сигнале по отношению к мгновенным значениям: i I cos(m+(f) / , и и С05(а)/-Ьф,) и В Данном случае проводимость изменяется во времени периодически.

функцией, удобной для анализа, но и весьма распространенны реальным сигналом. Это так называемые скачки или пере-пады токов или напряжений, получающиеся при включении ц выключении цепей, при работе ряда электронных, релейных узлов и т. п.

Импульсный анализ при сложной форме сигнала. Пусть входной сигнал состоит из ряда накладывающихся ступенек величиной А , А А, . . . , сдвинутых относительно начала отсчета

Рис. П1.3. Иллюстрация импульсного метода анализа:

а) разложение идеального прямоугольного импульса иа составляющие ступеньки, б) аппроксимация пилообразного импульса ступеньками.

времени соответственно на интервалы Х - О, т Г ., Тогда выходной сигнал в линейной схеме будет суммой переходных функций, сдвинутых на те же интервалы и умноженных на величину соответствующих ступенек. Если число ступенек невелико (рис. П1.3, а), суммирование можно осуществить графически. В случае плавного сигнала число аппроксимирующих ступенек становится, очевидно, бесконечно большим, а их величины - бесконечно малыми (рис. П1.3, б) Тогда суммирование заменяется интегрированием, как при переходе от рядов к интегралам Фурье. Имеется несколько взаимосвязанных вариантов таких интегралов, например;

вых(О = вх(0) @ (О + J вх (т) в {t-x) dx, (П1.18а

вых(t) = вх(О 0 (0) + S а (t-x) в (т)dx. (П1.186)

a{p)=a(t) и в(р) = в(0,

а(р)в(р)а(т)в(<-т)т = а(Ов(0)-Ь ja(T)e {t-x)dx.

Значит, если ых (Р) = вх (/) ® (/). то

вых (О = вх (<) 0 (0) + S вх (Т) в [t - X) dX, (П1.18в) о

что является одной из форм интеграла Дюамеля.

В некоторых случаях изображение выходного сигнала, вычисленное по формуле (П1. 17), бывает настолько сложным, что его нет в таблицах. Тогда использование интегралов Дюамеля неизбежно.

Помимо упомянутой теоремы умножения, при анализе линейных цепей часто используются следующие теоремы операторного исчисления, которые мы приведем в виде формул соответствия.

Теорема дифференцирования. Если a{t)а{р), то

=И Ы- (0)].

Теорема интегрирования. Если a{t) = а{р), то t

a{t)dt=a(p). а

Теорема смещения. Если а (t)~ а{р), то a(t-x)=e-Pa(p).

Эти интегралы носят название интегралов Дюамеля; они позволяют найти выходной сигнал - реакцию - по известной форме

- входного сигнала и известной переходной функции. Переходную функцию можно найти как путем решения дифференциального

J уравнения, так и операторным методом; последний но известным

причинам более удобен.

При использовании операторного метода, вообще говоря, нет необходимости в определении оригинала переходной функции 6(0

, как этапа для последующей подстановки в интегралы Дюамеля.

Достаточно определить изображения входного сигнала и переходной функции (операторную функцию), по формуле (П1.17) вычис-

. лить изображение реакции, а затем по таблицам-сразу оригинал реакции. Такая возможность подтверждается теоремой операцион-

> ного исчисления-теоремой умножения, согласно которой, если