Использование преобразования {П1.7) при гармоническом анализе заключается в следующем.

Зная входной сигнал a{t), по формуле (П1.76) находим его изображение Адупа); умножая это изображение на G, получаем изображение выходного сигнала Адупоз); после этого искомый оригинал выходного сигнала ag(t) определяется по формуле (ГЦ.7а). Суммирование бесконечных рядов часто является сложной математической задачей; эта задача иногда упрощается, если можно пренебречь высшими гармониками входного сигнала.

Интеграл Фурье. В случае непериодических сигналов ряд Фурье непригоден; его естественным обобщением на случай бесконечно больших периодов является интеграл Фурье.

При Т->-оо пределы интегрирования в (П1.76) становятся равными -оо и +00, а вместо произведения гт можно писать просто (Л, поскольку понятие основной частоты исчезает (она вырождается в нуль).

Тогда вместо (П1.76) получаем:

Л(У(о)= 5 a(t)e-l >tdt (П1.8а)

- со

или, если a{t) = 0 при /<10, что часто бывает на практике, то

A{j(o)[a(t)e-l > dt. (П1.86)

Процесс суммирования (П1.76) переходит в процесс интегрирования

+ 00

а(0 = J AU(ii)eid(o, (П1.9)

- cd

если считать </(o=f , что вполне логично.

Применительно к рядам мы использовали термины изображение и оригинал условно. В области функциональных преобразований Фурье (П1.8), (П1.9) эти термины общеприняты:

(П1.8) является прямым преобразованием оригинала (ич первообразной функции) a{t) в его изображение A{j(o); (П1.9) является обратным преобразованием изображения в оригинал.

Использование интегралов Фурье для анализа схем, по существу, пе отличается от описанного выше использования рядов. Следует

ЛИШЬ иметь в виду, что роль обобщенной комплексной амплитуды /г-й гармоники играет не сама величина A{ja)), а ее диф-

( ференциал A(Ja)da. Это естественно потому, что спектр амплитуд сигнала вместо дискретного (в случае ряда) стал непре-

{ рывным. Поэтому амплитуда каждой из бесконечного числа бес-. конечно близких гармоник должна стать бесконечно малой. Величина Л(уи) характеризует плотность амплитуд на участке da в окрестности частоты (О.

Итак, использование преобразований Фурье сводится к следукн щему. Зная a{t), находим изображение AiJo)) и, тем самым,

элементарную обобщенную амплитуду A(j(u)dw; умножаем эту

\ амплитуду на 6, т. е. получаем элементарную выходную амплитуду Aijdi) dw; наконец, путем обратного преобразования опре- деляем авых{)-

Операторный метод. Как указывалось выше, в основе импульсного анализа схем лежит ступенчатый входной сигнал. Его можно записать в виде

a(t) = a-l(t), (П1.10)

где 1(0 - обозначение единичной ступеньки, т. е. сигнала, который равен нулю при t<0 и равен единице при fO.

Единичная ступенька, будучи элементарным сигналом в импульсном анализе, является сложным сигналом с точки зрения гармонического анализа. Поэтому, чтобы определить реакцию на ступеньку, пользуясь рассмотренными методами, необходимо, прежде всего, найти изображение ступеньки.

Подставляя в (01.86)

е-li - cos (at-J sin at,

легко убедиться, что интеграл Фурье для этого непригоден, ибо он не сходится при a{i)=l. Чтобы обойти это затруднение, найдем сначала изображение функции е~°*(о>0) с тем, чтобы потом положить 0=0, т. е. вернуться к функции 1(0- Представляя 3 тригонометрической форме и интегрируя по частям, находим из (П1.86):

: (/) = 5Т]- (П1.11а)

Полагая о=0, получаем

1(У(й) = 1. (П1.116)

Однако изображение единичной ступеньки можно получить более непосредственным путем. Для этого нужно вместо мнимого оператора уш, которым мы пользовались до сих пор, ввести более

общий комплексный оператор

p=ci + Ja (о>0).

Тогда экспонента е * будет уже не вспомогательной функцией, а органической частью подынтегрального выражения в формуле (П1.86v.

С 1 .е-*е-/ << = Г 1rf=.-L . J J o + i(o

Следовательно, при использовании оператора р интеграл, с помощью которого находится изображение единичной ступеньки, оказывается сходящимся, а само интегрирование выполняется чисто формально

l(/3) = Jl-e--P*< = i-. (П1.12)

Переход к комплексному оператору р влечет за собой переход от преобразований Фурье к преобразованиям Лапласа, прямому ц обратному:

A(p)=a(t)e-P* dt, (П1.13)

0 + jco

()=2Й/ I MP)e*dp. (П1.14)

В электротехнике операторные преобразования обычно осуществляют не по Лапласу, а по Карсону:

A(p)=:pla{t)e-PUt, (П1.15)

Принципы операторного исчисления одинаковы для обеих форч изображения, но все изображения по Карсону отличаются от изображений по Лапласу множителем р. Удобство формы Карсона в том, что изображение единичной ступеньки оказывается просто равным единице, тогда как в форме Лапласа изображение единиин,

согласно (П1Л2), равно ~.