Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

2. Полагая w = /сОу, строят логарифмические частотные характеристики для функции G/joGp(w) и, если необходимо, амплитудную и фазовую характеристики переносят на диаграмму Никольса. С помощью последней находят запасы устойчивости по модулю и по фазе, резонансный пик, резонансную частоту и полосу пропускания и оценивают динамические свойства нескорректированной системы.

3. Если необходима коррекция системы, то GfjoGp(w) умножают на передаточную функцию последовательного регулятора (w). Регулятор вводят в целях изменения формы частотных характеристик G/joGp(w). В соответствии со своей передаточной функцией в w-области он может давать либо опережение по фазе, либо отставание по фазе, либо сочетать в себе и то и другое. Важно отметить, что характеристики типа фильтра нижних или верхних частот в w-области могут и не иметь прямых аналогов в s-области. Позтому отнесение регулятора к тому или иному типу по виду его передаточной функции (w) производится исключительно с той целью, чтобы использовать известные представления о влиянии аналогичных регуляторов на коррекцию непрерывных систем в s-области.

По полученной передаточной функции Gj,(w)G/,oGp(w) необходимо сначала перейти к выражению (sXAo (s)Gp (s), a затем выделить передаточную функцию регулятора G (s), поскольку произведение G;, (s)Gp (s) известно.

Одно из важных требований заключается в том, чтобы передаточная функция Gg(s) была физически реализуемой. Кроме того, если возможно, функция (s) должна быть реализована в виде схемы, содержащей только элементы RuC. Отсюда вытекают следующие требования к G (s):

а) пслюсы функции G(s) должны лежать в левой половине s-плоскости и быть простыми и действительными;

б) количество полюсов G(s) должно быть больше числа нулей или равно ему. Вообще говоря, нули (s) могут лежать где угодно на i-плос-кости. Из (а) следует, что область расположения полюсов G (s) ограничена отрщательным направлением действительной оси. Так как полюсы

(s) обусловлены полюсами G (w), а отрицательное направление действительной оси на s-плоскости соответствует отрезку - К w < О на w-nnoc-кости (рис. 9.12), то это означает, что (w) может иметь только простые действительные полюсы в диапазоне от - 1 до 0.

4. Если найдено G(vi)GoGp(vi), то, чтобы получить выражение Gc(s)Gfio {s)Gp{s), надо сделать обратный переход от переменной w к переменной S. Следует отметить, что

G;(w)GboG (w)= [GGboGp(z)]

1+w (9-18)

(9-19)

z-преобразование для передаточной функции разомкнутой системы без коррекции имеет вид

G.(s)

(9-20)



Рис. 9.12. Расположение полюсов GCs) и Gc(w), соответствующее физически реализуемым RC-схемам

Переходя к переменной w, получим

s-nnocKocmt

w-nnocmcmb

GJs)

2w 1 + w

GJs)

(9-21)

С учетом последовательного регулятора GcCw) запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде

(9-22)

G;(w)GoGp(w) = GboG,Gp(w) =

GJs)Gp(s)

1 + W

1-w

GJs)Gp(s)

1-w

W 4- 1

G;(w)GboG (w)

(9-23)

Передаточная функция Gc{s)Gp{s)ls получается из выражения (9-23) путем разложения G(;{w)GfjoGp{w) на сумму элементарных дробей и нахождения соответствующих им оригиналов в области переменной s. Для этой цели можно использовать табл. 9.1, устанавливающую связь между преобразованием Лапласа, z- и w-преобразованлями.

5. Из найденного выражения Gf.(s)Gp(s)ls нетрудно получить (s). Однако из-за несоответствия между числом нулей в s- и w-плоскости передаточная функция Gf. (s) во многих случаях будет иметь нулей больше, чем полюсов. Чтобы выйти из положения и сделать функцию (s) физически реализуемой, в нее можно добавить один или несколько удаленных полюсов, расположенных на отрицательном направлении действительной оси. Эти добавочные полюсы не должны оказывать сколько-нибудь заметного влияния на показатели качества системы.

Пример 9.2. Реишм ту же задачу, что и в примере 9.1, только с помощью билинейного преобразования. Передаточная функция управляемого процесса задана выражением (9-5), где = 1,57; период квантования Г= 1,57 с.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет z-прео.бразование

s% + 1)

1.22(z + 0.598) ~(z-l)(z-0.208)

Применяя к этому выражению w-преобразование, получим

(9-24)

GhoGp(-) = GhoV )

1.232(1 + 0.251w)(l - w) w w(H-l,525w) 4-w

(9-25)

j, Логарифмические частотные характеристики для G/,oGp(w) изображены на



Таблица 9.1

Преобразование Лапласа G(s)

2-преобразование G (z)

w-преобразование G (w)

s -f- a

(s + a)

s(s-l-a)

s2-bco2

(s + a)2 -f- w2

z-1 Tz

(z-l)2 ,

Tzfz -f 1) 2(z-l)3 г

w-f 1 2w

T(l -f- w)(l - w)

Td-f w)(l-w) 1-f-w

1-f-e

1-f-L 1-е

(1 -f w)(l - w)Te-

(l-e- T)2

1-f-e

-аТ 12

(z-l)(z-eT)

(1 -f-w)(l-w)

1-f-e

-aT

(z-l)2 a(z-l)(z-e-T)

zsinoiT - 2zcoswT -f-1

zesinojT

z2-2zeTT, + -2aT

T(l-w)(l-bw) (l-w)(l-f-w)

1-1-

1-f-e

(1 -w)(H-w)sinajT 2[(1 + vrb - (1 - w2)coswT]

(l + w)(l-w)e-sinajT (l-bw)2-2(H-w)(l-w) ecoscjT -f- (1 - w)e-2

рис. 9.13. Фазовая характеристика пересекает уровень - 180° при частоте = 1, и нескорректированная система обладает очень малым запасом устойчивости. Чтобы получить запас по фазе 45°, частоту среза нужно сдвинуть в точку и>н, = 0,4, где I GfjoGp{\v) I = 8 дБ. Для этого амплитудную характеристику в окрестности точки toyy = 0,4 надо опустить на 8 дБ, не уменьшая при этом коэффициента передачи системы.

Выберем в качестве аналогового регулятора ciw) модель с отставанием по фазе , т. е.

(9-26)

G(w) = i

1 -I- TW

(а<1)

Поскольку требуемое ослабление составляет 8 дБ, то

201gc = - 8дБ, откуда

й = 10 ° =0,398.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147