Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Заметим, что теоретически, поскольку матрица Q (8-111) имеет ранг, равный 11, и ни один из элементов Г не равен нулю, система должна быть полностью управляемой по состоянию. Однако, как следует из выражения (8-112), последний элемент матрицы Г приблизительно равен нулю и систему можно считать почти неуправляемой . С практической точки зрения, поскольку элементы Г отражают связь не связанных между собой состояний с входной переменной, значения этих элементов показьшают степень управляемости соответствующих состояний. В рассматриваемом случае последний элемент матрицы Г соответствует собственному значению матрицы А, равному нулю, и практически невозможно изменить это собственное значение с помощью обратной связи по состоянию.

Таким образом, хотя различные методы анализа управляемости и наблюдаемости кажутся эквивалентными, при рещении практических задач благодаря количественным характеристикам системы один метод может оказаться более наглядным, чем другой. В рассматриваемом случае, хотя проверка ранга матрицы Q показьшает, что система является полностью управляемой по состоянию, метод, основанный на преобразовании подобия, указьшает на трудности в управлении определенными состояниями.

8.12. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ

В гл. 4 были описаны преобразование подобия и преобразование к канонической форме фазовой переменной, которые в определенных случаях облегчают анализ и синтез цифровых систем управления. Рассмотрим влияние этих невырожденньгх преобразований на свойства управляемости и наблюдаемости. Кроме того, исследуем влияние на управляемость и наблюдаемость обратных связей по состоянию и по выходной переменной.

Теорема 8.18. Теорема об инвариантности управляемости относительно невырожденного преобразования. Рассмотрим цифровую систему управления п-то порядка

х(к 4- 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-113)

в которой пара [А, В] является полностью управляемой. Преобразование х(:) = Ру(:), где Р - невырожденная матрица, приводит систему (8-113) к виду

у(к -и) = Лу(к) -I- Ги(к) (8-114)

где Л = Р * АР; Г = Р~ * В. Тогда пара [Д Г] также является управляемой. Доказательство. Матрица управляемости системы (8-114) имеет вид

= [Г АГ ЛГ ... А -Г] =

= [Р-В Р-АРР-В (P-lAP)(P-lAP)P-B ... (P-lAP) -lp-lB] =

= Р-ЧВ АВ АВ ... A -1b]=P-1s (8-15)

s=[b АВ АВ ... А -В] (8-116)

так как пара [А, В] является управляемой и матрица S имеет ранг и. Таким образом, поскольку Р является невырожденной матрицей, ранг матриц Si и S совпадает, и пара [Д Г] полностью управляема.

В действительности приведенная теорема при соответствующем вы-



боре невырожденной матрицы Р распространяется на преобразование подобия и преобразование к канонической форме фазовой переменной.

Теорема 8.19. Теорема об инвариантности наблюдаемости относительно невырождениого преобразования. Рассмотрим цифровую систему управления -го порядка

х(к + 1) = Ах(к) -f- Bu(k) (8-117)

c(k) = Dx(k) (8-118)

в которой пара [А, D] является полностью наблюдаемой. Преобразование x(/t) = Ру(), где Р - невырожденная матрща, приводит систему уравнений к виду

у(к + 1) = Лу(к) -t- Ги(к) (8-119)

с(к) = DPy(k) (8-120)

Тогда пара [Л, DP] также является наблюдаемой.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 8-18. Составим матрицу наблюдаемости

Vj = [(DP) A(DP) (A2)(DP) ... (A -(I5P)] (8-121)

Подставляя A = P~ АР в последнее выражение и упрощая, можно показать, что Vi имеет ранг, равный п, если пара [А, D] является наблюдаемой.

Теорема 8.20. Теорема об управляемости замкнзтых систем с обратной связью по состоянию. Если цифровая система

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-122)

является полностью управляемой, то замкнутая система, получаемая с помощью обратной связи по состоянию

и(к) = г(к) - Gx(k) (8-123)

и описываемая уравнением вида

х(к -I- 1) = (А - BG)x(k) -I- Вг(к) (8-124)

также является полностью управляемой. В то же время, если пара [А, В] неуправляема, не существует матрицы С, которая делает пару [А - BG, В] управляемой. Иными словами, если разомкнутая система является неуправляемой, то она не может быть преобразована в управляемую с помощью обратной связи по состоянию.

Доказательство. Под управляемостью пары [А, В] понимают, что существует управление u(fc) на интервале [ О, N] такое, что из начального состояния х(0) система переводится в состояние х(Л) за конечный интервал времени Ж Перепишем уравнение (8-123) в виде

г(к) = и(к) + Gx(k) (8-125)

Это уравнение описывает управляющее воздействие в замкнутой системе. Таким образом, если существует и(А:), которое может перевести систему из х(0) в х(Л) за конечное время, то, как следует из выражения



(8-125), г (к) также существует, и замкнутая система также является управляемой.

И, наоборот, если пара [А, В] неуправляема, т. е. не существует управление и(к), которое переводит систему из некоторого состояния х(0) в состояние x(iV) за конечное время N, то невозможно найти входную переменную г (Л), которая аналогичным образом влияла бы на состояние х(Л). В противном случае можно было бы выбрать и (Л) вида (8-123) для управления разомкнутой системой.

Теорема 8.21. Теорема о наблюдаемости замкнутых систем с обратной связью по состоянию. Если система, описьшаемая уравнениями (8-117) и (8-118), является управляемой и наблюдаемой, то обратная связь по состоянию (8-123) может сделать систему ненаблюдаемой. Другими словами, наблюдаемости разомкнутой и замкнутой систем в случае обратной связи по состоянию не зависят друг от друга.

Следующий пример иллюстрирует зависимость между наблюдаемостью и обратной связью по состоянию.

Пример 8.5. Для системы, описъшаемой уравнениями (8-117) и (8-118), поло-

0 1

-2 -3

D=[l 2]

Можно показать, что пара [Л, В] управляема, а пара [А, D] наблюдаема. Пусть обратная связь по состоянию определяется соотношением

u(k) = r(k)-Gx(k)

G=[gi gg]

Тогда замкнутая система описьшается уравнением состояния х(к -И) = (А - BG)x(k) -I- Вг(к)

A-BG =

-gl . 1-2 -2-gi -3-g2

Матрща наблюдаемости замкнутой системы имеет вид

1 -3gi-4

2 -3g -5

V=[D (A-BG)D] =

Определитель матрицы V равен IVI = 6gj-3g2-l-3

Поэтому, если gi и 2 выбрать такими, чтобы V =0, то замкнутая система будет ненаблюдаемой.

(8-126) (8-127)

(8-128) (8-129)

(8-130) (8-131)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147