Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Поскольку W является вырожденной матрицей, пара [А, в] неуправляема. (Теорема 8.5) :

(zi--a)-1b =

z -а О

z -а

z -а

А. z -а

(8-92)

Поскольку строки матрицы (г! - А) линейно зависимы, пара [А, в] неуправляема.

(Теорема 8.6) :

[xi-А: В] =

Тогда

Х-а О

(8-93)

(8-94)

(8-95)

Поскольку ранг матриц [Xjl - А : в] и [Хг! - А : в] не равен 2, пара [А, в] неуправляема.

Пример 8.3. Рассмотрим линейную цифровую систему управления, входная и выходная переменные которой связаны разностным уравнением

с(к +) + 2с(к + 1) + с(к) = и(к -f-1) + u(k) (8-96)

Это разностное уравнение преобразуется в следующие уравнения динамики:

х(к -f-1) = Ах(к) + Ви(к) (8.97)

(8-98)

-а:в] =

-а;в] =

с(к) = Dx(k)

D = [l 1]

Поскольку матрица

q = [b ав] =

(8-99)

является невырожденной, система полностью управляема по состоянию для пер менных состояния х, (fc) и Хг (к). Наблюдаемость системы исследуется с помощью матрицы

l -1

L=[D ad] =

(8-100)

Поскольку L является вырожденной матрицей, система ненаблюдаема, т. е. не все состояния Xiik) и Х2 (.к) могут быть определены по известной выходной переменной с (0) за конечный интервал времени (О, N).



Система, описьшаемая уравнениями (8-97) и (8-98), является управляемой по выходу, так как матрица

T=[DAB DB]=[-1 1] (8-101)

имеет ранг, равный 1.

Отсюда следует, что выбранные переменные состояния, связанные уравнениями (8-97) и (8-98), образуют систему, которая является управляемой по состоянию и по выходу, но ненаблщдаемой.

Переопределим теперь переменные состояния системы таким образом, чтобы уравнения динамики по-хфежнему имели вид (8-97) и (8-98), но при друшх матрицах коэффициентов

D=[l 0]

Проводя анализ, подобный проделанному вьппе, находим, что 1 - 1

Q = [BAB] =

l=[dAd]

- система неуправляема по состоянию;

- система наблюдаема;

(8-102)

(8-103)

T = [DABDB] -[l l] - система управляема по выходу. (8-104)

Изменения в свойствах управляемости и наблюдаемости в зависимости от выбора переменных состояния объясняются тем, что в передаточной функции системы (8-96) имеется компенсация полюса и нуля. Управляемость по выходу не зависит от выбора переменных состояния.

Пример 8.4. В этом примере мы рассмотрим некоторые практические вопросы применения критериев управляемости и наблюдаемости. Большинство реальных систем управления технологическими процессами и аэрокосмическими объектами имеют высокий порядок, поэтому применение критериев управляемости и наблюдаемости не будет столь наглядным, как в примерах 8.2 и 8 3.

Цифровая модель динамики космического корабля описывается векторно-матричным уравнением состояния

х(к +1) = Ах(к) + Ви(к) (8-105)

гдеАиВ-соответственно матрицы размерностями 11X11 и 11X1. Для удобства представим матрицу А в блочном виде следующим образом:

21 22

(8-106)

где Ап= 0(5X5);

(8-107)



0,176

-0,366 6,02

-24,0 0,69

-19,9 О О

-134,6 -0,69 19,9 О О

-6,1 О О О

-3,66 -6,1

-1,06 10,17 -293,0 О О

-0,188 О О О

2,36 -0,188

-856 О О О

-52,86 -85,4

0.02 0,304 -8,76 -11,67 О

-2,56 О О О

-0,168 -18,84

-0,113 О О

2,0 -7,0 -0,113

(8-108)

-0,077 О О О

-0,005 -0,388

(8-109)

в = [О О О О О -7,28 ООО -0,478 -7,28] (8-110)

Поскольку система имеет только один вход, исследовать ее управляемость можно с помощью вычисления определителя матрицы размерностью 11X11

q=[b ав ав ... ав] (8-111)

который равен iqi ==4,46 10. Поэтому система полностью управляема по состоянию. Однако при синтезе закона управления с обратной связью по состоянию по заданному расположению собственных значений замкнутой системы возникают определенные вычислительные трудности. Очевидно, некоторые характерные особенности системы не могут быть объяснены только матрицей управляемости (8-111). Для дополнительной проверки управляемости преобразуем матрицу а к диагональному виду с помощью преобразования подобия. Собственные значения матрицы различны и имеют следующий вид: -0,603 ± j30,15

-0.0328 ± jl.76

-0,0276 ± jl,36 ±jl,0

-0.00056 ± j0,29 О

Матрица Г несвязанной системы имеет вид

-8,16 X 10 1,67 X 10 -9,32 X 10 2,99 X 10 -1,32 X 10 9,00 X 10 -1,76 X 10 1,54 X 10 1,97 X 10 -3,19 -2,79 X 10

-2 -1 -10 -3

(8-112)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147