Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

матриц*.! ВандёрмондаР вида (4203). Новое уравнение состояния имеет вид

у(к + 1) = Лу(к) + Ги(к) (8-71) где Л= Р АР. Уравнение выхода преобразуется к виду

с(к) = Fy(k) (8-72) где F = DP. Векторы состояния х(:) и у(:) связаны соотношением

х(к) = Ру(к) (8-73)

Поскольку матрица Л является диагональной, г-е (г = 1,2,и) уравнение системы (8-71) имеет вид

У;(к-Ц)= Х;У;(к)-Ь 7;и(к) (8-74)

где - собственное значение матрицы А, - г-й элемент матрицы Г. В рассматриваемом случае Г - (иХ 1)-мерная матрица. Вьиисляя z-преобразование от обеих частей уравнения (8-74) и полагая начальные условия нулевыми, получим связь между ¥( (z) и U(z) посредством передаточной функции

U(z)

Yi() = X, Уравнение (8-72) описьшается z-преобразованием

C(z) = FY(z) = DPY(z)

Рассмотрим (IX и)-мерную матрицу

D=[d, dg ... dJ

Тогда

F=DP=[f, ... f ]

f. = dj + d2Xj+ ...+ d X

(8-75)

(8-76) (8-77) (8-78) (8-79)

для i - 1,2, n. Используя соотношения (8-75) и (8-78), запишем уравнение (8-76) в виде

C(Z) = [f


U(z)

(8-80)

C(z) Д fji U(z) 4 z - Xj

(8-81)



Последнее уравнение представляет собой передаточную функцию системы в форме элементарных слагаемых. Если в передаточной функции (8-81) имеется компенсация полюса и нуля, то соответствующий коэффициент в правой части уравнения должен быть нулевым. Предположим, что сокращается полюс Z = Ху, тогда

Отсюда следует, что либо fj- = О, либо у- = О, либо и то и другое одновременно. Поскольку есть у-й элемент матрицы Г, равенство = О оэнача-ет, что система неуправляема. в то же время, если f- = О, где fj- есть /-й элемент матрицы F, то система ненаблюдаема.

8.10. ЗАВИСИМОСТЬ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ОТ ПЕРИОДА КВАНТОВАНИЯ

Поскольку в цифровой системе управления присутствуют операции квантования по времени, условие управляемости и наблюдаемости может зависеть от периода квантования Т. Для импульсных систем, описьшае-мых уравнениями состояния (8-22), условие управляемости по состоянию заключается в том, что матрица Q (8-23) имеет ранг п. Это означает, что если

Qj = 0(iT)e(T) = q. = (jT)e(T) (8-82)

для г, / = 1, 2, N-l, i Ф f, к Т Ф О, то система будет неуправляемой. По аналогии из выражения (8-45) следует, что если

0(iT)d = 0(jT)d (8-83)

для i, j = 1, 2, ...,Л-1, {Ф], и ТФ О, то система будет ненаблюдаемой. Поэтому последние два условия приводят к выводу о том, что если для определенного периода квантования

ФИТ) = 0(JT)

для г, / = 1, 2, N-1, i Ф /, то система одновременно неуправляема и ненаблюдаема. в следующем примере рассматривается цифровая система, для которой зшравляемость и наблюдаемость зависят от периода квантования.

Пример 8.1. Предположим, что передаточная функция линейного процесса опи-сьшается выражением

Очевидно, что непрерывная система является управляемой и наблюдаемой, поскольку в С (s) отсутствует компенсация полюсов и нулей.

Передаточная функция G(s) заменяется следующими уравнениями состояния:

Xj(t) = X2(t) (8-85)

i2(t) = -oj\(t)-t-u(t) (8-86)



Переходная матрица состояния при замене f на Г имеет вид coscoT -wsincoT совоЯ

ф{Т) =

-sinwT

(8-87)

Поскольку COS cjT = ± 1 и sin соТ = О при соТ = тг, п=0, ± 1, ± 2,система является неуправляемой и ненаблюдаемой при cj =тг/Т.

8.11. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ

В этом параграфе приведено несколько примеров для иллюстрации применения рассмотренньгх выше методов проверки управляемости и наблюдаемости.

Пример 8.2. Один из методов проверки линейных систем с различными собственными значениями на управляемость состоит в диагонализации матрицы А и последующем анализе свойств строк матрицы Г, описываемой выражением (8-33). Однако некоторые матрицы А с кратными собственными значениями также могут быть диагонализированы, поэтому, хотя матрица Л является диагональной, а в матрице Г отсутствуют целиком нулевые строки, это не означает, что система является полностью управляемой. Рассмотрим цифровую систему, описываемую следующими уравнениями:

х(к -I- 1) = ах(к) 4- bjU (к) (8-88)

Х2(к -I-1) = ах2(к) -I- bgu (к) (8-89)

bi Фа, Ь2 ФО. Совершенно ясно, что зга система является неуправляемой, хотя Л - диагональная матрица, а в матрице I = [bi Ьг] отсутствуют нулевые строки. Чтобы убедиться в этом, необходимо просто составить матрицу [Г ЛГ] и показать, что она является выролщенной. С физической точки зрения состояния, описьшаемые уравнениями (8-88) и (8-89), являются несвязанными. Однако, поскольку динамика этих состояний совпадает, невозможно независимо управлять ими с помощью одной входной переменной.

Убедимся в том, что система не является управляемой по состоянию с помощью соответствующих теорем.

(Теорема 8.3) :

Q=[B АВ] =

(8-90)

Поскольку Q является вырожденной матрицей, пара [А, В] неуправляема*.

(Теорема 8.4) : Для N=2

W = АВВА4-ВВ =

(14-a2)

(8-91)

* По определению, пара [А, В] неуправляема, если система х(к+ I) -Ах(к) + + Ви (к) не является полностью управляемой- - Прим. ред. пер.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147