Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

2) все элементы столбцов F, которые соответствуют первым столбцам каждой клетки Жордана, ненулевые.

Доказательство этой теоремы подобно доказательству теоремы об управляемости систем с кратными собственными значениями.

8.8. ДУАЛЬНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ НАБЛЮДАЕМОСТЬЮ И УПРАВЛЯЕМОСТЬЮ

Такая связь между условиями управляемости по состоянию и наблюдаемости существует и для непрерывных, и для линейных цифровых систем.

Предположим, что уравнения динамики линейной цифровой системы (система 1) заданы в виде

x(kji)= A(ki)x(kj) + B(kj)u(kj) . (8-52)

c(kj) = D(kj)x(ki) + E(kj)u(kj) (8-53)

Сопряженная система (система 2) для системы 1 описывается выражениями

у(к;1) = A*(kj)y(kj).+ D(kj)u(kj) (8-54)

z(kj) = B(kj)y(kj)-f E(kj)u(kj) . (8-55)

A*(kj)= [A-l(kj)] (8-56)

В этом случае определение сопряженной системы несколько иное, чем в п. 4.11, чтобы дуальная связь между управляемостью и наблюдаемостью была однозначной. Предполагается, что к.{к{) является невырожденной для всех ki = ко, к,.... Агдг.

Пусть переходная матрица состояния для А (Л;) описана соотношениями

Ji(kj.i,ki)

А(к.)А(к. 1).... А(к) к. > к

I kj.i = \

а переходная матрица состояния для А* (Л/) записана в виде

i;/2(kj,ko)=<

А*(к. 1 )А*(к..2) ... А(ко) к. > кр (8.5g)

I kj = ко

Используя (8-56), получим

{к.,\) = [A-l(k.)][A-l(k. i)] ... [А-1(к)]=

= [A-l(kj)A-l(k2)...A-l(k.)] (8-59)

Транспонированная матрица (/. ko) имеет вид



4>(к.,\) = [A-l(ki)A-l(k2) ... A-l(k.)] =

= [A(k.)A(kj.i) ... A(ki)] -1 = [/(k.k.l) k.,1 > ко (8-60)

Заметим, что соотношение (8-60) подобно выражению, которое связывает матрицы состояния исходной и сопряженной систем в непрерывном случае.

Дуальная связь между управляемостью по состоянию и наблюдаемостью цифровых систем, т. е. систем 1 и 2, выражается следующим образом. Система 1. Управляемость по состоянию:

[l(kj,k)B(ko) (kj,k2)B(k) ... B(kj )]

Наблюдаемость:

[D(ko) \P;(k,ko)D(kj) ... ((;(kj i,ko)D(kj j)] Система 2. Наблюдаемость:

[В(ко) \P(k,kQ)B(k) ... V(kj j,ko)B(kj j)]

Управляемость no состоянию:

[ф(к,Х)Т>(\) \P2(k,k2)D(kj) ... D(kj )]

С учетом соотношения (S-60) запишем матрицу наблюдаемости для системы 2

L2(ko,kj )= [В(ко) \P(k,ko)B(kj) ... ф2(кк-1.ко)В(к.1)] = = [В(к(,) \!/(k,k2)B(kj) ... Vi(ki,kj)B(kj )] (8-61)

Позтому, чтобы матрица *i (%. к) бьша невырожденной, ранг 1.2{ко. должен совпадать с рангом матрицы

i(kj,kj)L2(k( k ) =

= [,Р,(к,к)В(ко) !,(к,к2)В(к,) ... В(к ,)] (8.62)

Таким образом управляемость по состоянию системы 1 подразумевает наблюдаемость ее модифицированной сопряженной системы, т. е. системы 2. Используя этот подход, можно легко показать, что условие наблюдаемости системы 1 совпадает с условием управляемости по состоянию системы 2.

Полезно выяснить, почему определение сопряженной системы должно быть несколько модифицировано [ см. уравнение (8-56) ], с тем чтобы установить дуальную связь между управляемостью по состоянию и наблюдаемостью для этих двух систем. Следует заметить, что при определении условия управляемости состояние изменяется от х(:о) до xkj}, в то время как при определении наблюдаемости х(:о) в выражении (8-38) используются только состояния от х(Л}) до x{kpf i). Это один из возможных способов объяснения, почему индексы в переходных матрицах состояния этих двух систем отличаются друг от друга.

Для цифровых стационарных систем связь сопряженных систем может определяться обычным образом.



Система 1: .

х(к;г) = (к;) + Bu(k.) (8-63)

с(к;) = Ох(к;) + Еи(к;) (8-64) Система 2:

у(к;1) = А*у(к;)+Ви(к;) (8-65)

2(к;) = Ву(к;) + Еи(к;) (8-66)

А* = (А-1) (8-67)

Связь между переходными матрицами состояния этих двух систем выражается соотношением

\!1(к;)= [\!/2Ц)Г1 = t (8-68) j=l

Дуальная связь между управляемостью по состоянию и наблюдаемостью этих систем очевидна.

8.9. СВЯЗЬ МЕЖДУ УПРАВЛЯЕМОСТЬЮ, НАБЛЮДАЕМОСТЬЮ И ПЕРЕДАТОЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

В классических методах анализа и синтеза систем управления для описания линейных стационарных систем, как правило, используются передаточные функции. Одно из преимуществ их использования состоит в том, что управляемость по состоянию и наблюдаемость непосредственно связаны с минимальным порядком передаточной функции. Следующая теорема устанавливает связь между управляемостью и наблюдаемостью и компенсацией полюсов и нулей в передаточной функции.

Теорема 8.17. Управляемость, наблюдаемость и передаточные функции. Если в передаточной функции, связывающей входной и выходной сигналы линейной стационарной цифровой системы, имеется компенсация полюсов и нулей, то в зависимости от выбора переменных состояния система является либо неуправляемой по состоянию, либо ненаблюдаемой, либо и той и другой одновременно. Если в передаточной функции отсутствует компенсация нулей и полюсов, систему всегда можно описать уравнениями динамики как полностью управляемую и наблюдаемую.

Доказательство. Предположим, что цифровая система и-го порядка с одним входом и одним выходом и различными собственными значениями описывается уравнениями динамики

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-69)

с(к) = Dx(k) (8-70)

Приведем матрицу А к диагональному виду с помошью (иХ и) -мерной



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147