Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

L(kokN-i)= lD(ko)(ki,ko)D(4) - (kN-iko)D(kN-i)]

(8-36)

или (иХ и)-мерная матрица

L(ko,k- ,)L(ko.kj, i)= I /(к;.ко)0(к;)В(к;)/(к;,ко) (8-37)

является невырожденной.

Доказательство. Зашшем переходное уравнение состояния в виде

x(kj) = (kj,ko)x(ko) + Ф(к;,к. )В(к.-)и(к.) (8-38)

гдег= 1,2,...,7V-1.

Подстановка уравнения (8-38) в уравнение выхода (8-2) дает

c(kj) = D(ki)(kj,k(j)x(k(j) + J D(kj)(kj,kjl)B(k.)u(k.) + E(kj)u(kj)

(8-39)

дляг= l,2,...,yV-l.

Когда i проходит значения от О до 7V-1, уравнения (8-39) и (8-2) образуют совместно pN линейных алгебраических уравнений, которые могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

с(ко)

D(ko)

c(ki)

D(kj)J/(k,ko)

C(kj, ,)

D(kj, ,)(kj, j,ko)

E(ko) D(kj)B(ko) D(k2)J/(k2,k)B(ko)

E(kj)

D(k2)B(kj) E(k)

0 ... 0 0 0

D(kj l)(k j,k)B(ko) D(k j)(kj j,k2)B(k)......E(kj )

u(ko) u(k) (kg)

(8-40)

Чтобы при заданных ckf) и и{к{),1 = О, из последнего урав-

нения можно бьшо определить х(ко), очевидно, что (pNX и)-мерная матрица



D(k,) D(kj)J/(k,ko)

D(kj, ,)(kj, ko)

(8-41)

должна иметь n независимых строк (предполагается, что pN ri), или матрица l(fco. 7V-l) описьшаемая выражением (8-36), должна иметь п независимых столбцов, или иметь ранг п.

Если h{kf), yy j) имеет ранг п, то квадратная (иХи)-мерная матрица L{ko, kj )L (ко, % i) также должна иметь ранг п, откуда следует условие (8-37).

8.7. ТЕОРЕМЫ О НАБЛЮДАЕМОСТИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Теорема 8.11. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система

x(kji)= Ах(к;)Ч-Ви(к.) (8-2)

с(к;) = Dx(ki) + Еи(к;) (

является полностью (абсолютно) наблюдаемой только в том случае, если следующая матрица имеет ранг п.

l=[d Ad (AfD ... (Af-D] (n X Np) (8-44)

где и ир - размерности векторов x(kj) и с (А;,) соответственно.

Доказательство зтой теоремы непосредственно следует из доказательства для нестационарного случая. В общем случае информация о с (к{) и u(Aj) необходима только для / = О, 1, N-\ или для интервалов. Если стационарная система является наблюдаемой для некоторого интервала [ко, лдг], то она также является наблюдаемой на любом другом интервале. Позтому для стационарных систем полная наблюдаемость подразумевает также глобальную наблюдаемость.

Для импульсных систем, описываемых уравнением состояния вида (8-22), условие полной наблюдаемости состоит в том, что матрица

l=[d <J(T)d ф(2Т)0 ... [(N-1)T1d] (nX Np) (8-45)

должна иметь ранг п.

Теорема 8.12. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система, описьшаемая уравнениями (8-42) и (8-43), является полностью наблюдаемой только в том случае, если матрица Грама

v= i(aN--1)ddaN- -i

(8-46)

является невырожденной.



Теорема 8.13. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система (8-42) - (8-43) является полностью наблюдаемой только в том случае, если столбцы (рХ и)-мерной матрицы

D(zl - А)-1

линейно независимы. Если А является диагональной матрицей или записана в канонической форме Жордана, то столбцы D(zl - А) , которые соответствуют первым столбцам каждой клетки Жордана, не должны целиком состоять из нулей.

Теорема 8.14. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система (8-42) - (8-43) является полностью наблюдаемой только в том случае, если [и X (п + р)] -мерная матрица

((м-a);d]

имеет ранг и для всех собственных значений X матрицы А. Если матрица А представлена в диагональной форме или в канонической форме Жордана, то столбцы [(XI - А) : d], которые соответствуют первым столбцам жордановых клеток, не должны целиком состоять из нулей для всех соб-ственньгх: значений X матрицы А.

Теорема 8.15. Полная наблюдаемость систем с различными собственными* значениями. Если матрица А цифровой стационарной системы

х(к 4- 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-47)

с(к) = Dx(k) + Eu(k) (8-48)

имеет различные собственные значения, то уравнения динамики с помощью преобразования подобия х(/с) = Ру(к) трансформируются к виду

у(к -I- 1) = Лу(к) + Ги(к) (8-49)

с(к) = Fy(k) -I- Eu(k) (8-50)

где матрицы Л и Г описываются выражениями (8-32) и (8-33) соответственно и

F=DP (8-51)

Система является полностью наблюдаемой только в том случае, если матрица F не содержит столбцов, полностью состоящих из нулей.

Доказательство этой теоремы основано на том, что поскольку Л-диагональная матрица, уравнения состояния системы (8-49) не связаны друг с другом. Поэтому, если какой-либо столбец F полностью состоит из нулей, соответствующая переменная состояния не будет наблюдаемой ни по одной из выходных переменных.

Теорема 8.16. Полная наблюдаемость по состоянию систем с кратными собственными значениями. Если матрица А в уравнениях системы (8-47) - (8-48) имеет кратные собственные значения, то преобразование подобия х(к) = ¥у{к) преобразует А в жорданову каноническую форму (8-35). Условия полной наблюдаемости состоят в следующем:

1) каждая клетка Жордана соответствует одному кратному собственному значению;



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147