L(kokN-i)= lD(ko)(ki,ko)D(4) - (kN-iko)D(kN-i)]

(8-36)

или (иХ и)-мерная матрица

L(ko,k- ,)L(ko.kj, i)= I /(к;.ко)0(к;)В(к;)/(к;,ко) (8-37)

является невырожденной.

Доказательство. Зашшем переходное уравнение состояния в виде

x(kj) = (kj,ko)x(ko) + Ф(к;,к. )В(к.-)и(к.) (8-38)

гдег= 1,2,...,7V-1.

Подстановка уравнения (8-38) в уравнение выхода (8-2) дает

c(kj) = D(ki)(kj,k(j)x(k(j) + J D(kj)(kj,kjl)B(k.)u(k.) + E(kj)u(kj)

(8-39)

дляг= l,2,...,yV-l.

Когда i проходит значения от О до 7V-1, уравнения (8-39) и (8-2) образуют совместно pN линейных алгебраических уравнений, которые могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

E(ko) D(kj)B(ko) D(k2)J/(k2,k)B(ko)

E(kj)

D(k2)B(kj) E(k)

0 ... 0 0 0

D(kj l)(k j,k)B(ko) D(k j)(kj j,k2)B(k)......E(kj )

u(ko) u(k) (kg)

(8-40)

Чтобы при заданных ckf) и и{к{),1 = О, из последнего урав-

нения можно бьшо определить х(ко), очевидно, что (pNX и)-мерная матрица

D(k,) D(kj)J/(k,ko)

D(kj, ,)(kj, ko)

(8-41)

должна иметь n независимых строк (предполагается, что pN ri), или матрица l(fco. 7V-l) описьшаемая выражением (8-36), должна иметь п независимых столбцов, или иметь ранг п.

Если h{kf), yy j) имеет ранг п, то квадратная (иХи)-мерная матрица L{ko, kj )L (ко, % i) также должна иметь ранг п, откуда следует условие (8-37).

8.7. ТЕОРЕМЫ О НАБЛЮДАЕМОСТИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Теорема 8.11. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система

x(kji)= Ах(к;)Ч-Ви(к.) (8-2)

с(к;) = Dx(ki) + Еи(к;) (

является полностью (абсолютно) наблюдаемой только в том случае, если следующая матрица имеет ранг п.

l=[d Ad (AfD ... (Af-D] (n X Np) (8-44)

где и ир - размерности векторов x(kj) и с (А;,) соответственно.

Доказательство зтой теоремы непосредственно следует из доказательства для нестационарного случая. В общем случае информация о с (к{) и u(Aj) необходима только для / = О, 1, N-\ или для интервалов. Если стационарная система является наблюдаемой для некоторого интервала [ко, лдг], то она также является наблюдаемой на любом другом интервале. Позтому для стационарных систем полная наблюдаемость подразумевает также глобальную наблюдаемость.

Для импульсных систем, описываемых уравнением состояния вида (8-22), условие полной наблюдаемости состоит в том, что матрица

l=[d <J(T)d ф(2Т)0 ... [(N-1)T1d] (nX Np) (8-45)

должна иметь ранг п.

Теорема 8.12. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система, описьшаемая уравнениями (8-42) и (8-43), является полностью наблюдаемой только в том случае, если матрица Грама

v= i(aN--1)ddaN- -i

(8-46)

является невырожденной.

Теорема 8.13. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система (8-42) - (8-43) является полностью наблюдаемой только в том случае, если столбцы (рХ и)-мерной матрицы

D(zl - А)-1

линейно независимы. Если А является диагональной матрицей или записана в канонической форме Жордана, то столбцы D(zl - А) , которые соответствуют первым столбцам каждой клетки Жордана, не должны целиком состоять из нулей.

Теорема 8.14. Полная наблюдаемость. Линейная стационарная цифровая система (8-42) - (8-43) является полностью наблюдаемой только в том случае, если [и X (п + р)] -мерная матрица

((м-a);d]

имеет ранг и для всех собственных значений X матрицы А. Если матрица А представлена в диагональной форме или в канонической форме Жордана, то столбцы [(XI - А) : d], которые соответствуют первым столбцам жордановых клеток, не должны целиком состоять из нулей для всех соб-ственньгх: значений X матрицы А.

Теорема 8.15. Полная наблюдаемость систем с различными собственными* значениями. Если матрица А цифровой стационарной системы

х(к 4- 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-47)

с(к) = Dx(k) + Eu(k) (8-48)

имеет различные собственные значения, то уравнения динамики с помощью преобразования подобия х(/с) = Ру(к) трансформируются к виду

у(к -I- 1) = Лу(к) + Ги(к) (8-49)

с(к) = Fy(k) -I- Eu(k) (8-50)

где матрицы Л и Г описываются выражениями (8-32) и (8-33) соответственно и

F=DP (8-51)

Система является полностью наблюдаемой только в том случае, если матрица F не содержит столбцов, полностью состоящих из нулей.

Доказательство этой теоремы основано на том, что поскольку Л-диагональная матрица, уравнения состояния системы (8-49) не связаны друг с другом. Поэтому, если какой-либо столбец F полностью состоит из нулей, соответствующая переменная состояния не будет наблюдаемой ни по одной из выходных переменных.

Теорема 8.16. Полная наблюдаемость по состоянию систем с кратными собственными значениями. Если матрица А в уравнениях системы (8-47) - (8-48) имеет кратные собственные значения, то преобразование подобия х(к) = ¥у{к) преобразует А в жорданову каноническую форму (8-35). Условия полной наблюдаемости состоят в следующем:

1) каждая клетка Жордана соответствует одному кратному собственному значению;