Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

. 00*00,1571) s GoG*(j0.1571)= Go(jO,1571)G(jO,1571) + + Go{jO,1571 + joj)G{jO,1571 + jojj +

+ Gbo(j0,1571 - ja;)G(j0,1571 - joj) (7-20)

где cjj = 2я/7 = 10я - частота квантования. Ряд обрывается при N = I, так как в соответствии с (7-18)

СйоО0,1571 + /2a;s)G0O,1571 + ]2ojs) +

+ Сйо00,1571 -/2a;s)G00.1571 -j2ojs)\ < 0,01 GoGfOO,1571). (7-21)

Для передаточной функции вида (7-19) N увеличивается с ростом со. Приа;= 15,71 рад/с Л/= 5.

Заметим, что в программе для ЭВМ частота cj наращивается равными долями от cjj/2 и изменяется до cjgl2. Это объясняется тем, что частотный годограф GH*(jco) имеет один и тот же вид в диапазонах от ncjs До (и + 1) и = О, 1,2, а его участок от со = О до со - cOj/2 симметричен участку от со = cOs/2 до со = coj. Поэтому фаза GH*{jcS) при со = ncjj2 всегда равна целому числу я.

В табл 7.2 приведены результаты вьиислении ряда, аппроксимирующего выражение (7-19), при Г = 0,2 и Д = Ю *. Если со = 0,1571, то но-прежнему равно единице. Однако при возрастании со требуется большее число членов, чтобы удовлетворялся критерий ошибки.

3. Метод билинейного преобразования. Для построения частотных характеристик цифровых систем управления можно воспользоваться били- нейным преобразованием

1 + W

Из данного соотношения

(7-22)

( 7-23)

Z+1

При2 = е = со5Со7+ /sincorвыражение (7-23) принимает вид

. sincoT ., ГсоТ = J 1 + coso.T =

(7-24)

Таким образом, единичная окружность на z-плоскости отображается в мнимую ось комплексной w-nnocKocTH. Область внутри единичной окружности соответствует левой половине w-плоскости, а положительное направление мнимой оси соответствует диапазону частот исо <со< (и+l)cjj, и = 0, 1,2, ....

Пусть комплексная переменная w имеет вид

Тогда из (7-24) получаем соотношение соТ

(7-26)

которое устанавливает связь между частотой со и псевдочастотой CJ,.



Таблица 7.2

arg GfiQGQoJ), градус

0,1571

8,498

- 40,81

0,3142

6,120

- 69,96

0,4712

4,357

- 90,00

0,6283

3,172

-104,7

0,7854

2,364

-116,2

0,9425

1,795

-125,3

1,100

1,384

-132,6

1,257

1,081

-138,5

1,414

0,8536

-143,2

1,571

0,6797

-146,7

3,142

0,1315

-125,4

4,712

0,1233

-103,2

32

6,283

0,1219

-110,4

7,854

0,1145

-1218

9,425

0,1070

-133,7

11,00

0,1009

-145,5

12,57

0,09665

-157jl

14,14

0,09415

-168,6

15,71

0,09333

-180,0

Таким образом, для анализа в частотной области мы можем в передаточной функции заменить переменную z выражением

.= 1 (7-27)

и изменять соц, от нуля до бесконечности. Например, передаточная функция (7-15) с учетом выражения (7-27) после упрощения принимает вид

1,583 X 10-к1-joj)

(7-28)

joj(l +jl,636oj)

Заметим, что обозначение G(/cjvv) используется в том смысле, что передаточная функция зависит от /со, и вовсе не означает простой замены Z на jcjw По полученному выражению G(jcj) можно построить кривые зависимости модуля и фазы G(Ju>yv) от псевдочастоты изменяя последнюю от нуля до бесконечности.



7.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

На первый взгляд, билинейное преобразование не дает шкаких преимуществ, если необходимо построить частотный годограф в- полярных: координатах. Однако с помощью билинейного преобразования передаточная функция приводится к такому виду, что построение логарифмических частотных: характеристик практически не встречает затруднений. Например, передаточная функция (7-28) имеет простое выражение, которому соответствуют точки излома амплитудной характеристики coyv = 1 и со ; = = 1/1, 636 =0,611, и последняя строится достаточно просто [ 1].

На рис. 7.5 изображены логарифмические частотные характеристики для функции G(/Wvv), определяемой выражением (7-28), при ifр = 1,65 X X 10; 6,32 10 и 10. Амплитудные характеристики построены с учетом аппроксимации характеристик сомножителей Gijojyj) прямолинейными отрезками. Например, амплитудная характеристика члена (1 - joow), входящего в числитель Gijixi), представляют собой асимптоту с нулевым наклоном при малых значениях coyv и прямую линию с наклоном+20 дБ/дек при больших значениях соу. Эти две линии встречаются при <jJw = ЬО. Амплитудная характеристика члена (1 + /l,636cjvv) в знаменателе G(/cjyy) представляет собой прямую с нулевым наклоном при малых значениях Wvt, и прямую с наклоном - 20 дБ/дек при больших значениях oj.. Эти два ч)трезка встречаются при частоте iw= 0,611. Члену /со в знаменателе G(/C0y(,) соответствует амплитудная характеристика в виде прямой линии с наклоном - 20 дБ/дек, проходящей через точку соу = 1 на горизонтальной оси. Сумма этих трех составляющих дает результирующую амплитудную характеристику функции G(Jcj). Изменение коэффициента Кр приводит к смещению этой характеристики по вертикали вверх или вниз.

Фазовая характеристика члена (1 - /cj) в числителе Gijcj) изменяется от О до - 90° в диапазоне О < со < °°, а при cjw - 1 фазовый сдвиг равен -45°. Аналогично фазовая характеристика члена (1 + jl,636u).,) в знаменателе имеет такой же вид, за исключением того, что сдвиг - 45° имеет место при cjw ~ 0,611. Член jcj в знаменателе дает постоянный фа-

Рис. 7.5. Логарифмические члс-тотные характеристики для функции G (j<w) > соответствующей системе, изображенной на рис. 6.5


3 5



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147