Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147


GH{z)- плоскости

Рис. 7.3. Частотные годографы для G(s)H(s) = = l,57/s(s 1) hGH(z) = = 0,792Kz/I (z - 1) (z -- 008)1 при К = 1,57, Т = 7Г/2 с

Поскольку полному обходу по единичной окружности соответствует - riLojl < со < < ncdisll, где п = 1,2,. . ., то в указанных интервалах частот годограф GH{z) имеет один и тот же вид. На рис. 7.3 изображен годограф GH{z) при измшшии z вдоль единичной окружности. На годографе отмечены только те значения частоты, которые соответствуют отрезку оси на s-плоскости, находящемуся в основной полосе. Влияние квантования на устойчивость замкнутой системы очевидно из годографов Найквиста для G(s)H{s) и GH(z), приведенных на рис. 7.3. Поскольку передаточная функция G{s)H(s) имеет второй порядок, то соответствующий ей частотный годограф не пересекает отрицательное направление действительной оси и непрерывная система управления с такой передаточной функцией всегда будет устойчива в замкнутом состоянии. Для цифровой системы управления годограф СЯ(г) при К = 1,57 пересекает отрицательное направление действительной оси в точке - 0,515; точка же ( - 1 ,/0) находится левее, и годограф GH{z) не охватывает ее. Следовательно, замкнутая цифровая система при К = 1,57 и Г = 7г/2 с является устойчивой. Однако при К > 3,05 она уже не будет асимптотичлки устойчивой.

Пример 72. Рассмотрим цифровую систему управления, изображенную на рис. 6.5; передаточная функция разомкнутой системы задана выражением (6-59), гдеГ= 0,1 с,Кг= 3,17-105,Уу = 41822, гКр~ варьируемый параметр. Итак,

G(z) = -

1,2 X 10-Kp(z + 1) (z-l)(z-0,242)

(7-15)

После замены z = ef в выражении (7-15) вычисляются модуль и фаза функции G(z). На рис. 7.4 изображены годографы Найквиста для С(г) пркКр = 1,65-106 ; 6,32-10* и 10. Когда Кр = 1,6510, то годограф G(z) при частоте 13,2 рад/с пересекает отрицательное направление действительной оси в точке - 0,26. Так как точка ( - 1,/0) находится левее, то в соответствии с критерием Найквиста замкнутая система асимптотически устойчива. При Кр = 6,32-10 годограф G(z) проходит через точку ( - 1,/0) и система не является асимптотически устойчивой. Наконец, при Кр = 10 годограф G(z) охватывает точку ( - 1,У0) и система неустойчива. Частота, при которой годограф G(z) пересекает отрицательное направление действительной оси, равна значению w, при котором корневой годограф на г-плоскости пересекает единичщю окружность (см. рис. 6.21).

Следует отметить, что при построшии годографов (рис. 7,4) рассматриваются только положительные значения ш. Крометого, каждая кривая соответствует диапа-




Рис. 7.4. Часготные годографы G (z) для системы, изображенной на рис. 6.5

зону частот О < и> < cjj, где - частота квантования. Годограф для О < to < ts/ является зеркальным отображением относительно действительной оси годографа для tjj/2 < ш < ixjj. Следовательно, годографы повторяются для каждого интервала Kcjj < CJ < (к + l)<.Js. и = О, 1, 2,. . . . Это свойство частотных годографов обусловлено периодичностью полосы s-плоскости и эффектом квантования.

2. Метод бесконечного ряда. Импульсная передаточная функция цифровой системы управления может быть записана в виде

1 °*

(7-16)

где в целях анализа в частотной области произведена замена s = /cj. Поскольку большинство систем управления обладают характеристиками типа фильтра нижних частот, то модуль функции Ci{jw(jLo) уменьшается с ростом частоты cj. Поэтому мы можем произвести аппроксимацию бесконечного ряда (7-16) конечным числом членов. При вычисленш! на ЭВМ можно предусмотреть автоматическое ограничение ряда, когда удовлетворяется принятый критерий ошибки. Иными словами, будем считать

GH*(joj)= f GO + JnWJto + jncoj

(7-17)

n=-N

где положительное целое Л определяется следующим критерием ошибки: С[/а; + /(Л(+ l)ws][/co+/(7V+ l)ws] +

+ G\]b, - i{N* \)cos]H\ji - i(N+ 1)со,]<ДСЯ*(/), (7-18)

где Д - наперед заданная малая величина.

Неравенство (7-18) означает, что, если вклад (Л + 1)-го члена в выражение (7-17) меньше некоторой малой доли (определяемой величиной



Таблица 7.1

1 со

СйоСОсо) 1

arg С/го G*j{i<). грацус

0,1571

8,498

- 40,81

0,3142

6,120

- 69,96

0,4712

4,357

- 90,00

0,6283

3,172

-104,7

0,7854

2,363

-116,2

0,9425

1,794

-125,3

1,100

1,384

-132,6

1,257

1,081

-138,6

1,414

0,8526

-143,2

1,571

0,6786

-146,8

3,142

0,1301

-125,6

4,712

0,1211

-102,9

4 ,

6,283

0,1197

-110,1

7,854

0,1118

-121,5

9,425

0,1044

-133,5

11,00

0,09806

-145,3

12,57

0,09357

-157,0

14,14

0,09093

-168,5

15,71

0,09005

-1В0,0

А) модуля функции для н = о, 1, 2, . . ., Аили равен ей, ряд можно оборвать после п= N.

Прешчущество данного метода перед методом z-преобразования состоит в том, что отпадает необходимость определения GH(z) по выражению G(sy/(s).

Программа вычислений по формуле (7-17) с использованием критерия ошибки (7-18), записанная на языке ФОРТРАН-IV, приведена в п. 7.7.

В качестве примера данная программа использована для вычисления GhoG*(joj) в соответствии с функцией

Gho(s)G(s) =

1 - е-т

+ 2s + 10

+ 5s2 -1- 5s + 1

(7-19)

В табл. 7.1 приведены результаты вычислений модуля и фазы функции Gf,oG*(jcj) при Г = 0,2 и Д = 0,01. В-первой графе таблицы указаны значения N, определяющие верхний и нижний пределы суммирования в выражении (7-17) и необходимые для удовлетворения критерия ошибки. Например, если CJ = 0,1571 рад/с,тоЛ= 1. Это означает,чтоб/,оС*00,1571) annpoKCHivinpyeiCH выражением



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147