Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

JImz

Z-плоскоСть


Рис. 7.2. Контуры Найквиста:

а - Ts на s-плоскости; б - Tz на z-плоскости

замкнутой системы, изображенной на рис. 1Л,а,нужно сначала построить годограф Найквиста для G{s)H{s), который является отображением контура Найквиста в s-гшоскости на плоскость G{s)H(s), а затем пронаблюдать его поведение относительно точки ( - 1,/0).

Цифровая система управления, изображенная на рис. 7.1, б, имеет в замкнутом состоянии импульсную передаточную функцию

C*(s) G*(s) R*(s) 1 + GH*(s)

(7-2)

Устойчивость замкнутой системы можно определить по годографу Найквиста для GH*(s). Так как GH*(s) имеет ввд

1 °°

GH*(s) = Z G(s + jnw)H(s + jncog)

(7-3)

TO построение годографа фактически зависит от свойств произведения G (s)H(s). Можно поступить иначе, записав передаточную функцию (7-2) в z-форме:

C(zl G{z) B(z) 1 + GH(z)

и построив годограф Найквиста для GH(z), если использовать контур Найквиста на z-плоскости. Контур можно получить отображением контура Г$ на z-плоскость с помощью выражения z = е. На рис. 7.2, б показан контур Найквиста на z-плоскости; малые полуокружности при Z = 1 и в других точках контура соответствуют возможным аналогичным полуокружностям на контуре Найквиста в s-плоскости. Большая окружность бесконечного радиуса на z-плоскости соответствует большой полуокружности (участок IV) на s-плоскости. Контур Найквиста на z-плоскости не является непрерывным, ибо, когда при движении по контуру в s-плоскости точка достигает положения J, соответствующая ей точка на z-плоскости перескакивает с единичной окружности на окружность беско-



нечного радиуса, а в положении 7 происходит обратный скачок. Точное место, где происходит такой скачок, указать невозможно. Однако областью, охватываемой контуром Найквиста Г, является все пространство между двумя окружностями. Для передаточных функций GH{z), которые не имеют полюсов и нулей вне единичной окрзности на z-плоскости, достаточно использовать только участок / контура Fz, соответствующий участку Fj от s = О до s = / °°.

Теперь приведем формулировку критерия Найквиста для цифровых систем управления и опишем процедуру его применения.

1. На z-плоскости определяется контур Найквиста, как показано на рис. 7.2,6.

2. Годограф Найквиста для G*(s) или GH(z) строится в полярных: координатах при изменении переменной z вдоль контура Fz или переменной s вдоль контура Fj.

3. Критерий Найквиста указывает на то, что для устойчивости замкнутой цифровой системы годограф Найквиста GH(z) [или GH*{s)] должен охватьшать точку ( - 1, /0) на плоскости GH(z) [или GH*{s)\ столько раз, сколько полюсов GH{z) [или Gff*(s)] находится внутри контура Найквиста Г (или Fs), причем зти охваты должны совершаться по часовой стрелке.

Иными словами,

N=Z-P (7-5)

где N - число охватов точки ( - 1, /0) годографом Найквиста GH{z), причем N берется со знаком плюс при охвате точки ( - 1, /0) против часовой стрелки и со знаком минус при охвате по часовой стрелке; Z - число нулей функции 1 + GH{z), расположенных на z-nnocKOCin вне единичной окружности (или охватываемых контуром Найквиста при движении по нему против часовой стрелки); Р - число полюсов функции 1 + + GH(z), расположенных на z-плоскости вне единичной окружности, т.е. охватываемых: контуром Найквиста. [Заметим, что полюсы 1 + GH(z) совпадают с полюсами G (z)].

Чтобы замкнутая система бьша устойчива, должно выполняться тождество Z = О, т.е. все корни характеристического уравнения должны лежать внутри единичной окрзности. Тогда условие (7-5) принимает вид

N = -Р (7-6)

Если функция GH{z) не имеет полюсов вне единичной окружности (т.е. Р=0), это означает, что разомкнутая система устойчива, и критерий Найквиста принимает простейшую форму

N = О (7-7)

Таким образом, если разомкнутая система устойчива и Z = О, то для того, чтобы замкнутая система также была устойчива, годограф Найквиста GH{z) вообще не должен охватывать точку ( - 1, /0).

Итак, применение критерия Найквиста к цифровым системам управления, по сути, сводится к исследованию поведения годографа Найквиста GH(z) относительно точки ( - 1,/0). Следовательно, основной задачей является построение этого годографа.



Если критерий устойчивости имеет вид (7-7), то необходимо построить только участок / (г = е , О < со < 0°) годографа Найквиста.

Участок / годографа Найквиста GH(z) строится на основании выражения

GH*(Jw)=s Z G(jw + jnw)H(jw-Ь jncoj (7.8)

А n=-~

где CJ изменяется от О до °°. Другим способом тот же годограф можно построить по выражению GH(z), заменяяz =e к варьируя со от О до °°.

Выражение (7-8) неудобно для построения годографа Найквиста, так как оно содержит бесконечное число членов. Поэтому ниже рассмотрим несколько практических,методов построения годографа Найквиста для GH(z).

1. Метод /-преобразования. При гармоническом анализе непрерывных систем в выражении для передаточной функции производится подстановка s = /со, т.е. на s-плоскости рассматриваются только точки, расположенные на положительном направлении мнимой оси. Для цифровых систем управления соответствующий анализ в частотной области связан с заменой

Z = eJT (7-9)

т.е. на z-плоскости рассматриваются только точки, расположенные на единичной окружности z = 1.Так, если задана некоторая передаточная функция G(z), то имеет место тождество

G(z) = G*(s) Тогда

1 , (7-10)

G(z) = G*(s)

Программа вычисления G(z) по последнему выражению на языке ФОРТ-PAH-IV приведена в п. 7.7.

Пример. 7.1. Пусть цифровая система управления, изображенная на рис. 7.1, б, имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

G( ) ( ) = (7-12)

а частота квантования ojj = 4 рад/с, что соответствует периоду квантования Т = = 7г/2 с.

г-преобразование выражения G{s)H{s) имеет вид гш,ч - 1 7 0.792Z

0,H(z) - 1,57 jj о 208) (7-13)

В соответствии с (7-11) частотный годограф СЯ(г) описывается выражением

(ei-T i)(ei-T 0,208) .щ

1.243(cosa)T + jsinojT)

~ (coswT-I-jsinwT - l)(coswT -Ь jsinwT - 0,208)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147