Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

При необходимости аналогичным образом можно распространить понятие коэффициентов опшбки применительно к выходным функциям более высокого порядка.

О влиянии квантования на установившуюся ошибку. Выше мы показали, что квантование обьмно отрицательно влияет на переходную функцию и относительную устойчивость системы управления. А как оно влияет на установившуюся ошибку замкнутой системы? Иными словами, если мы имеем непрерывную систему, а затем вводим в нее устройство выборки и хранения, получая тем самым цифровую систему, то каковы будут установившиеся ошибки этих систем при одном и том же типе входного сигнала?

Рассмотрим сначала систему, изображенную на рис. 6.23, считая, что устройство выборки и хранения в ней отсутствует. Для такой непрерьшной системы коэффициенты ошибки по положению, скорости и ускорению, соответственно, определяем следующим образом:

К = lim G (s)H(s) (6-85)

(6-86)

К = lim sG (s)H(s) К, = lim sG .(s)H(s)

(6-87)

В теории управления принято классифицировать непрерывные системы в зависимости от порядка полюса s = О у передаточной функции разомкнутого контура. Если

G(s)H(s)= -- bS)-(l.Vs) Р sJ(l + TiS)(l-bT2s)...(l + T s)

(6-88)

где через Т обозначены ненулевые действительные или комплексные константы, то систему относят в типу /. Так, на основании выражений (6-85), (6-86) и (6-87) можно легко прийти к выводу, что, например, система типа О будет давать постоянную установившуюся ошибку при ступенчатой входной функции и бесконечную опшбку при входных сигналах более высокого порядка. Система типа 1 (/ = 1) будет давать нулевую установившуюся ошибку при ступенчатом входном сигнале, постоянную ошибку при линейном входном сигнале и бесконечную ошибку при любом воздействии более высокого порядка, и тл. В табл. 6.1 приведены значения коэффициентов ошибки для разных типов непрерывных систем управления.

Таблица 6.1

Тип системы



На основании выражений (6-83) и (6-84) можно было бы сделать вывод, что для цифровых систем управления коэффициенты ошибки и Кц зависят от периода квантования Т. Поскольку любая цифровая система предполагает наличие непрерывного управляемого процесса, то можно рассматривать передаточную функцию Gp(s)H(s) вида (6-88). Проведем анализ для случаев / = О, 1, 2.

Система типа 0. Для системы типа О, когда / = О, выражение (6-88) имеет вид

K(l + Ts)(l + T.s)...(H-T S) p() ( ) - (1.TiWV)...(1T;) (6-89)

причем предполагается, что у этой функции полюсов больше, чем нулей. Подстановка последнего выражения в (6-70) дает

- (ЩИ-Т s)(H-Tj,s)...(H-Т s) !

(6-90)

Раскладывая выражение в фигурных скобках на сумму простых дробей, получим

GH{z) = (1 - z )[- + члены с ненулевыми полюсами ] =

- п --1\г I члены, обусловленные 1 (6-91)

Z - 1 ненулевыми полюсами

Важно заметить, что слагаемые, обусловленные ненулевыми полюсами, не содержат в знаменателе член (z - 1). Тогда коэффициент ошибки по положению

К = Иш GH(z) = lim (1 - z !) = К (6-92)

* Z-.1 Z-1 Z - 1

Этот результат показывает, что в случае процесса типа О коэффициент ошибки по положению для замкнутой сисгемы с квантователем и фиксатором имеет такое же выражение, как и для непрерьшной системы. Следовательно, квантователь и фиксатор не оказывают влияния на установившийся режим систем данного типа.

Подставляя (6-91) в (6-83), получим коэффициент ошибки по скорости

= lim (Z - l)GH(z) = I lim (z - IKl - zl) = 0 (6-93)

Z- l 1 z.>l Z 1

Аналогичным образом = О для систем типа 0.

Система типа 1. Для системы типа 1, когда / = 1, выражение (6-70) принимает вид

СЯ(г)= (l-z->)[?---------> ] = + T-isKl + T2s)...a + T s)

= (1 ~ ~)[~2 - + члены с ненулевыми полюсами ]. (6-94)



Тогда коэффициент ошибки по положению Ар = lim СЯ(2)= lim(l-z- )[

(6-96)

члены, обусловленные ненулевыми i

полюсами J °° (.о-У-*)

Коэффициент ошибки по скорости

= i lim (Z - l)GH(z) = lim (z - 1)(1 - )(- +

i z-l - 1 z-l \(Z-1)2 ~ V

Нетрудно показать,что = 0.

Таким образом, при одной и той же передаточной функции Управляемого процесса система типа 1, содержащая квантователь и фиксатор, дает такую же установившуюся ошибку, как и непрерывная система.

Аналогично можно показать, что в случае процесса типа 2 цифровая система управления будет иметь Кр = о°,Ку =°° иК = К. Таким образом, значениями коэффициентов ошибки, приведенными в табл. 6.1, можно воспользоваться и для цифровых систем управления со структурой, показанной на рис. 6.23. При раскрытии выражений (6-83) и (6-84) происходит сокращение величины Т, поэтому установившаяся ошибка цифровой системы управления не зависит от периода квантования, а определяется исключительно параметрами непрерывной части системы и видом входного воздействия.

Подчеркнем еще раз, что если система спроектирована в целях отработки линейно-меняющегося сигнала, то ее реакция на ступенчатое воздействие перестает быть апериодической.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kuo, В. С, Automatic Control Systems, 3rd ed. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1976.

2. Kuo, B. C, Analysis and Synthesis of Sampled-Data Control Systems. Prentice-Hall, Englewood aiffs, N.J., 1963.

3. Tou J. T. Digital and Sampied-Data Control Systems. McGraw-HiU, New York, 1959. [Опубликован перевод: Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964].

4. Jury, Е. I., Theory and Applications of the z-Transform Method. John Wiley & Sons, New York, 1964.

5. Ragazzini, J. R., and Franklin, G. F., Sampled-Data Control Systems. McGraw-Hill, New York, 1958.

6. jury E. I. Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons, New York, 1958. [Опубликован перевод: Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгаз, 1963].

7. Lindorff, D. Р., Theory of Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons, New York, 1965.

8. Freeman, H., Discrete-Time Systems. John Wiley & Sons, New York, 1965.

9. Monroe, A. J., Digital Processes For Sampled-Data Systems. John Wiley & Sons, New York, 1962.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147