S-плоскосгт

Рис. 6.16b Расположение полюсов G* (s) и корневой годограф на s-плоскости для цифровой системы управления, описываемой зфавнениями (6-52) - (6-54) : а - полюсы G*(s); б - корневой го-

дограф

/Гоо

Jim Z г-плоскости

О Л-с

/Г-.-00

со-А

Рис. 6.17. Траектории корней характеристического уравнения (6-58) при изменении К от О до °°

При изменении от О до °° выглядят с учетом расположения нулей и полюсов G(z) так, как показано на рис. 6.17. Поскольку уравнение (6-58) имеет второй порадок, то корневой годограф на рис. 6.17 состоит только из двух ветвей.

Предполагая, что читатель знаком с техникой построения корневого годографа, которая рассматривается в учебниках по системам управления [1], здесь мы сконцентрируем внимание на разъяснение значимости корневого годографа на z-плоскости для анализа качества системы.

Если на z-плоскости построен корневой годограф цифровой системы управления, то по траекториям корней можно судить как об абсолютной, так и об относительной устойчивости системы. Условие абсолютной устойчивости требует, чтобы при данной совокупности параметров системы все корни характеристического уравнения лежали на z-плоскости внутри единичной окружности. В то же время расположение корней указывает и на относительную устойчивость. В связи с этим нас интересуют следующие вопросы: Если система устойчива, то насколько она устойчива и как хороша? Удовлетворяет ли качество пеое:одного процесса системы требованиям проектировщика? В частности, мы желаем иметь информацию о некоторых показателях качества таких, как максимальное перерегулирование и время максимума переходной функции, которые тесно связаны с коэффициентом затухания, фактором затухания и собственной частотой колебаний. Таким образом, проблема анализа относительной устойчивости на z-плоскости, по сути дела, сводится к исследованию положения корней характеристического уравнения относительно кривых постоянного фактора затухания, постоянного коэффициента затухания и постоянной частоты. Эти кривые были рассмотрены в п. 3.3. Кривые

Рис. 6.18. Линии постоянного фактора затухания на s- и z-плоскостях:

единичная окружность

S~nnocmcmff

Im Рис. 6.19. Линии постоянного коэф-

z~ плоспостс фициента затухания на s- и z-плоскостях для f = 0,5: 1 ~ единичная окружность

постоянного фактора затухания на z-плоскости представляют собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат; радиус окружности, соответствующей фактору затухания аi, равен е~ 1. Одна из таких кривых и соответствующая ейлиния нах-плос-кости изображены на рис. 6.18. Если при синтезе требуется, чтобы система имела наименьший фактор затухшшя Oi или наибольшую постоянную времени l/o), то все корни характеристического уравнения системы должны лежать слева от пинии s = - aj на s-iuiockocth и соответственно внутри окружности z=e~i(aj >0) на z-плоскости, как показано на рис. 6.18.

Линии постоянной частоты являются прямыми, исходящими из начала координат z-плоскости под углами в = ojT рад относительно положительного направления действительной оси.

Кривые,-постошного коэффициента затухания на z-плоскости представляют собой семейство логарифмических спиралей, за исключением случаев f = О и f = 1. Типичные линии постоянного значения f для f = 0,5 на s- и г-плоскостях изображены на рис. 6.19. Если при синтезе должен быть обеспечен определенный максимальный коэффициент затухания, то все корни характеристического уравнения должны лежать левее линии постоянного значения f на х-плоскости или внутри соответствующей логарифмической спирали наг-плоскости.

Поскольку большинство систем управления обладают характеристиками типа фильтра нижних частот, то на практике достаточно использовать только основную полосу s-плоскости. Тем самым предполагается, что удовлетворяются условия импульсной теоремы, т.е. высшая частотная составляющая в системе меньше чем 2gJs. Для этого случая на рис. 6.20 изображены линии постоянного коэффициента затухания для различных зна-

£=/7Л0СЛ0СШ

ЛВ -.1=0.067

Рис. 6.20. Лш и постоянного значения ? на s-плоскости для периодической полосы от о до jcJs/2 (а) и соответствующие этим линиям кривые на z-плоскоо-тк (б)

/1=20 :/=0.34?

-fl-3D:i5=0,5 -Ji=i5>;0.707

л=во:С=о,ввб

z-nnocHocmb

О 0.5 W 1,5 2,0 t,c

Рис. 6.21. Корневой годограф цифровой Рис. 6.22. Переходная функция системы, системы, изображенной на рис. 6.5 изображенной на рис. 6.5

чений f для положительной половины основной полосы на s-плоскости й соответствующие кривые на г-плоскости. Линии постоянного значения f для - tOs/2 < со < О являются зеркальным отображением кривых на рис. 6.20 относительно действительной оси.

Относительная устойчивость цифровой системы управления не может быть исследована на г-плоскости простым наложением на корневой годограф линий постоянных значений f, а и со .

Пример (>2. Рассмотрим систему управления космическим кораблем, изображенную на рис. 6.5. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем соответственно заданы выражениями (6-10) и (6-11). Пусть Т = 0,1 с, Ку = 3,17-105, /у = 41822 к Кр - варьируемый параметр. Тогда передаточная функция разомкнутой системы

1.2 X 10-Kp(z-И) (z-l)(z-0,242)

(6-59)

(6-60)

а характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

z2 -I- (1,2 X Ю-Кр - 1.242)z -I- 0 242 -h 1.2 X Ю-Кр = О

На рис. 6.21 на основании расположения полюсов и нулей G(z) построен корневой годограф системы щж изменении Кр от О до ~. По корневому годографу на z-плоскости находим, что когда траектории корней пересекают единичную окружность, значение Кр = 6,32-10. Это значение является криттеским сточки зрения устойчивости. Если в системе желательно иметь относительный коэффициент затухания 0,5, то на рис. 6.21 наносим кривую постоянного значения f = 0,5. Пересечение этой кривой с корневым годографом даег желаемое положение корней и соответствующее значение Кр, которое равно 1,65-106. Частота и>, соответствующая Кр = = 1,65-106, определяется по линии постоянной частоты, расположенной под углом 38°, как показано на рис. 6.21. Таким образом,

ш7=е = 38° = 0,66 рад.

Собственная частота колебаний (при 7= 0,1 с) определяется как

и = 0j /s/l - Р= 0,66/Vl - (0,5)= 7,62 рад/с. (6-61)

Используя значения ?, cj и расположение нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы, по рис. 6.12 и 6.13 соответственно можно найти максимальное перерегулирование и время максимума переходной функции. Или, используя ЭВМ, можно рассчитать и построить график переходной функции системы для Ар = = 1,65-106 (рис. 6.22).