Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147


Рис. 6.12. Относительное перерегулирование дискретных систем управления второго порядка

220 200 180 160

120 100 80

10 20 О

=0.5

->

Z-OJ

-90 -70 -50 -30 -10 О 10 30 50 tf,...

Рис. 6.13. Время максимума переходной функции дискретных систем второго порядка

-so -60-10-20 О 20 40 60а,.. При Т = ОД25 с передаточная функция замкнутой системы (6-13) принимает

83531.25(z + 1)

83644z2 + 58893,25z Н- 24525,25

(647)

Эта функция имеет нуль z = - I и два полюса z =Pi = - 0,352 /0,4114 и г = pi = = - 0,352 - /0,4114. Их положение на z-плоскости показано на рис. 6.14. Из рис. 6.14 имеем:

а = -40.66° (6 *8>

Фт=соТ= 130.55° = 2,278 рад IPl I = 0.54

Подставляя значения ipi (в радианах) и IPi I в выражение (6-45), найдем коэффициент затухания

f = 0.26

Поскохшйу а и ? известны, по номограмме (см. рис. 6.12) определяем максимальное пере1зегулирование. в данном случае интерполяция дает значение, близкое к 50 %.

,тат очшь хорошо согласуется с графиком переходной функции, показан-на рис. 6.7, на котором максимальное перерегулирование чуть больше 50 %. / Теперь рассмотрим, что будет при Т= 0,01 с. Передаточная функция замкнутой системы (6-13) имеет вид

165(z -I-1)

() 83644z2 - 160783Z + 77469

(649)



z-плоскость



jImz

z-плоскость

o T1l

-Rez


Рис. 6.14. Положение нуля и полюсов Рис. 6.15. Положение нуля и полюсов передаточной функции (6-47) при Т = передаточной функции (6-47) при Т = = 0;Z25 с = 0,01 с

Эта функция имеет нуль z = - 1 и два полюса z = р, = 0,96 + /0,0494 и z = pj = = 0,96 - /0,0494. Их положение показано на рис. 6.15, откуда имеем:

а = -37.56°

= 2.95° = 0.0514 рад ip 1 = 0.9613

Воспользовавшись соотношением (6-45), найдем коэффициент затухания замкнутой цифровой системы управления

f = 0.609

Максимальное перерегулирование, найденное с помощью рис. 6.12, составляет примерно 10 %,что очень хорошо согласуется сточным значением, определяемым по переходной функции для Т= 0,01 с, представленная на рис. 6.7.

Время максимума для двух рассмотренных выше случаев можно вьиислить непосредственно по формуле (6-46) или найти с помощью рис. 6.13. Для Т = 0,225 с. по формуле (6-46) имеем

,j 0,225

max 130,66 ДляГ= 0,01 с

arctg

-0.26

-I- 40.66° -(-180°) = 0,354 с

2,95

Т .. = [ arctg , + 37.56° 180°\ = 0.61

v/l-O.i

,609

(6-50)

(6-51)

Те же результаты можно было бы получить, воспользовавшись номограммой, приведенной на рис. 6.13. Они также очень хорошо согласуются с переходными функциями, показанными на рис. 6.7.

6.5. КОРНЕВЫЕ ГОДОГРАФЫ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Метод корневого годографа на s-нлоскости утвердился как полезный инструмент анализа и синтеза непрерывных систем управления. Корневой годограф непрерывной системы управления, по существу, является диаграммой траекторий корней характеристического уравнения как функ-



цией некоторого параметра К, который изменяется от - °° до °°. Корневой годограф дает возможность судить об абсолютной и относительной устойчивости системы управления в зависимости от этого параметра.

Поскольку характеристическое уравнение линейной стационарной цифровой системы управления является рациональным полиномом относительно Z, то те же правила, которые были предложены для построения корневых годографов на s-плоскости, могут быть применены и на z-плоскости. В принципе корневой годограф цифровой системы управления можно построить на s-плоскости, воспользовавшись характеристическим уравнением, полученным из полинома в знаменателе передаточной функции замкнутой системы C*(s)/R*(s), однако он будет содержать бесконечное число ветвей. Чтобы проиллюстрировать трудности анализа цифровых систем на s-плоскости, рассмотрим импульсную передаточную функцию замкнутой цифровой системы управления, заданную в виде

C*(s) G*(s) . (6-52)

R*(s) 1 -I- G*(s) где G*(s) - дискретная функция от

Итак,

G.,S) = I J G(s . in..) , К ( 4)

Известно [1], что траектории корней уравнения 1 + G*(s) = О могут быть построены на основе информации о полюсах и нулях передаточной функции разомкнутой системы G*(s). В данном случае функция G*(s) имеет бесконечное число полюсов, как показано на рис. 6.16, д. Следовательно, корневой годограф уравнения 1 + G*(s) = О содержит бесконечное число ветвей, как показано на рис. 6.16,6. Ясно, что для цифровых систем управления с более сложными передаточными функциями построение корневых годографов на s-плоскости будет более трудоемким.

Использование z-преобразования отображает бесконечное число полюсов и нулей, а значит, и траекторий корней на s-плоскости в конечное их число на z-плоскости. Для системы, описываемой уравнением (6-52), z-преобразование дает

Ш = G(z) (6-55) R(z) 1 + G(z)

а корни характеристического уравнения находят путем решения

1 + G(z) = О (6-56) где в соответствии с G(s) вида (6-53)

G(z)=/[G(s)]= Г -

(Z- l)(z- е М

Теперь траектории корней характеристического уравнения

(Z - l)(z -е-)+ К(1 - e-)z = О (6-58)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147