Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Подставляя параметры системы в два последних выражения, имеем

1.65 X 10T(z+ 1)

~ 83644z2 (g34 X ют - 167288)z + 83644 - 6,34 X ЮТ

(6-12)

C(z) 1.65 X 10T(z-b 1) Az2 -1- Bz -1- с

(6-13)

где Л = 83644; 5 = 6,34-10Г - 167288+ 1,65-107; С = 83644 -- 6,3410Г+ 1,65-lOr.

Характеристическое уравнение получается путем приравнивания к нулю знаменателя (6-13):

Az2 -ь Bz -Ь С = О (6-14)

где Л, ВиС имеют приведенные выше значения.

Поскольку теперь имеется дополнительный параметр системы в виде периода квантования Т, то ее качество зависит от значений Кр, К, Jy и Т.

Чтобы цифровая система управления бьша асимптотически устойчива, корни ее характеристического уравнения должны лежать ка z-hhockocth внутри единичной окружности г= 1. Очевидно, однако, что цифровая система второго порядка при больших значениях Т может быть неустойчива. Применяя к характеристическому уравнению (6-14) критерий устойчивости Джури, находим диапазон устойчивости по параметру Г: О < Г < < 0,264 с.

На рис. 6.6 изображена диаграмма положения корней уравнения (6-14) при изменении Г от О до °°. Эта диахрамма известна как корневой годограф [] ]. В данном случае корневой годограф построен путем задания значений Г и решения уравнения (6-14). Обычный способ построения корневого годографа [1] здесь не может быть применен, поскольку параметр Г нелинейно (как 7) входит в уравнение (6-14).

На рис. 6.7 представлены переходные функции цифровой системы управления для нескольких значений периода квантования Т. Отметим, что если период квантования стремится к нулю, то переходная функция цифровой системы стремится к соответствующей характеристике непрерывной системы.

г - п посметь 1

т=о.т --Re



Рис. 6.6. Траектории корней уравнения (6-14) при изменении периода квантования Т:

1 - единичная окружность

Рис. 6.7. Переходные функции цифровой системы управления, изображенной на рис. 6.5



Качество установршшегося режима цифровой системы управления можно определить весьма просто, используя теорему о конечном значении. В случаях когда эта теорема применима, она является самым простым методом оценки установившейся ошибки. Теорема о конечном значении не применима, если замкнутая система неустойчива или же ее выходная переменная не успевает отслеживать изменение входного сигнала, и ошибка неограниченно возрастает.

Установршшаяся ошибка цифровой системы управления определяется выражением

lira е(кТ) = lim (1 - z )E(z) (6-15)

к->~ Z-.1

Из рис. 6.5 имеем

E(z) = R(z) - C(z) = (6-16)

Для единичного ступенчатого воздействия i?(z) = z/(z - 1). Подставляя (6-16) в (6-15),имеем

lim е(кТ) = lim , 1 . (6-17)

к..- Z-.1 1 + (- (г) V

Подставляя G(z) из выражения (6-10) в (6-17), получим

lim е(кТ) = О (6-18)

к-

поскольку G(z) °° npHZ 1. Таким образом, цифровая система управления космическим кораблем способна отработать ступенчатый входной сигнал без установившейся ошибки.

Рассмотрим теперь входной сигнал r(t) в виде единичной линейной функции, r{t) = tUgt). Она имеет z-преобразование

Установившаяся ошибка системы

lime(kT)=Urn (6-20)

Подставляя G(z) из выражения (6-10) в (6-20) и переходя к пределу, получим

2К + ТК

ише(кТ)= Р (6-21)

Таким образом, при линейно-меняющемся входном сигнале установившаяся ошибка цифровой системы постоянна и зависит от К, Кр и Т. Если положить Г = О, то

Hm e(t) = К/Кр (6-22)

что в точности равно установившейся ошибке непрерывной системы управления космическим кораблем при единичном линейном входном сигнале.



Из рассмотренного выше простогопримера, по результатам анализа непрерывной и цифровой системы управления, можно сделать следуюшие выводы.

1. При одних и тех же структуре и параметрах системы цифровая система обьино менее устойчива, чем непрерывная. (В гл. 5 был рассмотрен метод переоборудования систем управления на базе ЭВМ и бьшо показано, как выбрать параметры цифровой системы, чтобы она обладала такой же реакцией, как и непрерывная система).

2. ЬСачество цифровой системы зависит от периода квантования Т. Его возрастание обычно способствует увеличению выброса переходной функции и в конечном счете может привести к неустойчршости системы.

3. Из корневого годографа (см. рис. 6.6) вытекает еще одна характерная особенность анализа цифровых систем управления. При мальгх значениях Т корни характеристического уравнения на г-плоскости располагаются очень близко к точке z = 1. Концентрация доминирующих корней около точки z = 1 часто создает две практические сложности при анализе цифровых систем. Во-первых, по положению корней на г-плоскости становится трудно предсказать поведение замкнутой системы. Такие характеристики, как кривые постоянного коэффициента затухания, постоянной частоты и др., определяются неточно, если все корни группируются в одном месте. Во-вторых, проблема точности может возникнуть и при попытке отыскания близких по значению корней с помощью ЭВМ.

6.3. связь МЕЖДУ ВРЕМЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ И ПОЛОЖЕНИЕМ КОРНЕЙ НА s- И z-ПЛОСКОСТЯХ

В П. 3.3 бьшо установлено соответствие между областями s- иг-плоскостей. В частности, на г-плоскости были построены кривые равных значений фактора затухания, коэффициента затухания и частоты. Эти кривые позволяют предсказать качество цифровой системы управления.

Для непрерывных систем известна связь между положением на х-плос-кости корней характеристического уравнения и переходной функцией. Например, комплексно-сопряженные корни, расположенные в левой половине s-плоскости, обусловливают экспоненциально затухающие синусоидальные процессы; корни на отрицательной части действительной оси соответствуют монотонно затухающим процессам; простые сопряженные корни на мнимой оси приводят к возникновению незатухающих гармонических колебаний с постоянной амплитудой. Кратные корни на мнимой оси и корни в правой половине s-hhockocth соответствуют расходящимся процессам.

Хотя мы и установили связь между s- иг-плоскостями, однако операция квантования в цифровых системах вызывает эффекты, требующие особого внимания. Если, например, импульсная теорема не выполняется, то эффект смещения полюсов в результате квантования может привести к искажению реакции системы. На рис. 6.8, а изображены полюсы передаточной функции непрерывной системы второго порядка, а на рис. 6.8, б - сво-бодное движение системы. Если в системе производится квантование с



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147