Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

/=1,2,..- . Разрешая это уравншие относительно последнего члена, получим

Bg(-1)(T) а? [А - BG(0)] 2 A-J-lBG(J)(T) (i-1)! - i! i! .4 (i-j)!j!

Поскольку В в общем случае не является квадратной матрицей, то, чтобы найти G(~)(7) из последнего уравнения, вновь введем весовую матрицу И(тХп), такую, чтобы НВ бьша невырождена. Умножая слева обе части уравнения (5-96) на Н и выделяя в явном виде G(~)(T), получим

G(--l)(T)=(HB)-lH(-tA-BG(0)]i

aH:;1bg(J>(T)\

/ = 1, 2, . . . .В табл. 5.2 представлены выражения для G(;J,~)(7) при /= 1,2иЗ.

Таблица 5.2

G(i-1)(T)

G(0)

g(0)[A-BG(0)]

(hb)-ih

- 1 ABG(0)[A - BG(0)] + 1 BG(0)[A - BG(0)] 2

Результаты, представленные в табл. 5.2, позволяют приближенно вычислить G(7), используя не более трех членов ряда (5-89). В соответствии с (5-89) имеем

К = 1 Gj (Т) = G(0>(T) = G(0) (5.98)

К = 2 G2(T) = G(0) + TG(1>(T) (5-99)

К = 3 G3(T) = G(0) + TG(1>(T) + ~ G(2>(T) (5-100)

Ha практике вместо точных матриц можно использовать их приближенные аналоги G(\T), С\\\Г) и G()(7). Кроме того, отметим (см. табл. 5.2), что G\T) и G\\T) не зависят от И. Поэтому приближенные значения G(T), полученные при использовании одного или двух членов ряда, соответственно Gi (Т) и G2(7), применяются для согласования всех состояний непрерывной и цифровой систем. При учете более двух членов ряда необходимо применять весовую матрицу И, поскольку G()(T) Ф G( 2) (3-), и при замене в выражении (5-100) G)(T) HaG(2)(r) в зависимости от выбранной матрицы Н обеспечивается совпадение только опре-Делшных состояний и комбинаций состояний.



в общем случае при увеличении числа членов ряда (5-89), используемого для аппроксимации G(T), полученное рещение будет стремиться к точному значению G(7), определяемому соотнощением (5-82).

Точное решение для Е(7). Вернемся теперь к определению матрицы прямой связи Е(Т). Запишем условие совпадения состояний в соответствии с (5-73) в виде

е(Т)Е(Т) = 61,(.Т)Е(0) (5-101)

Как и при рассмотрении замкнутой формы решения для G(7), если т = п и матрица Q(T) является невырожденной, существует единственное решшиеуравнения (5-101), имеющее вид

Е(Т)= [e(T)]-iejT)E(0)

(5-102)

В общем случае при п > т решение Е(7), соответствующее частичному совпадению состояний, равно

Е(Т)= [Ш(Т)]-1неДТ)Е(0) (5-103)

где предполагается, что Н0(/) - невырожденная матрица.

Определение Е(Г) с помощью разложения в ряд. По аналогии с G(7) матрицу Е(Т) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности Т= 0:

К-1 1

Е(Т) = lim Ej(T) = lim 7 е(>(Т)Т (5-104)

К. - К->~ j=o !

ЕШ(Т) = ад

(5-105)

Подставляя разложение Е(7) в уравнение (5-101) и выполняя операции, подобные (5-92), получим

--io (i-JW J (5-106)

/=1,2,... .В табл. 5.3 приведены значения ECJ,~ )(Т) для / = 1,2 и 3.

Таблица 5.3

Еа-1)(Т)

Е(0)

-g(0)BE(0)

(НВ)-%

ГАВС(0)В BG(0)[A-BG(0)]B [б 3

Е(0)



. Так же как и для g(7), пр аппроксимации Е(7) не более чем двумя членами ряда, в весовой матрице Н нет необходимости. В этом случае стараются согласовать все состояния цифровой и непрерывной систем.

Условия устойчивости и ограничения на выбор весовой матрицы Н. Выше весовая матрица Н вводилась для частичного совпадения состояний в задаче переоборудования систем с использованием ЭВМ. Поскольку выбор элементов матрица И точно не определш, важным требованием является асимптотическая устойчивость замкнутой цифровой системы управления. Задача состоит в определении ограничений на вид Н, которые гарантируют устойчивость.

Решая уравнение состояния (5-66) для моментов квантования, имеем

xj(k + 1)Т] = 0(Т)Хз(кТ) + е(Т)и(кТ) (5-107)

где Ф(Г) и ЩТ) определяются соотношениями (5-70) и (5-75), соответственно. Для г(кТ) = О закон управления с обратной связью по состоянию имеет вид

и(кТ) = -G(T)s(kT) (5-108)

Подстановка выражения (5-108) в (5-107) дает

Хз[(к + 1)Т] = [0(Т) - е(Т)0(Т)]х(кТ) (5-109)

Цифровая замкнутая система, описываемая уравнением (5-109), является асимптотически устойчивой, если все собственные значения матрицы [Ф(Т) - ©(T)G(T)] располагаются внутри единичной окружности г I = 1. Если задан период квантования Т, то Ф(7) и 0(7) известны и, следовательно, ограничшия на G(7), диктуемые соображениями устойчивости, можно найти с помощью обычных критериев. Замена в выражшии (5-81) G(7) HaG(7) дает

HD(T) = H0(T)G,(T) (5-110)

Транспонируя матрицы в обеих частях последнего уравнения, получаем

D(7}H = g;(7O0(7)H (5-111)

[С;(Т)е(Т) - D(T)] Н = о (5-112)

Это матричное уравнение соответствует системе из п линейных однородных уравнений, которые имеют нетривильные решения только в том случае, если выполняется следующее условие:

G;(T)e(T)-D(T)l= О (5-113)

которое эквивалентно условию

ie(T)G(T)-D(T)l= О (5-И4)

Таким образом, если выполняется соотношение (5-114), всегда существует отличная от нуля матрица И, которая будет удовлетворять уравнению

G(T) = [Не(Т)1 -lHD(T) (54



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147