Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Реакции, определяемые уравнениями (5-69) и (5-71), будут совпадать при t = (/с + 1)Гдля произвольного начального состояния Хс(кТ) = х(кТ) и произвольного входного сигнала г(т) только в том случае, если справедливы следующие два соотношения: Л (к+1)Т

ф (Т) = <(Т) - Г (кТ + Т - 7)d7BG(T) (5-72)

кТ

/. к+1)Т (к+1)Т

/ 0(кТ + Т - 7)d7BE(T) = Г ФкТ + Т - 7)BE(0)d7

кТ Jk-r (5.73)

Обращаясь вначале к выражению (5-72) и полагая X = (А; + 1)Г - 7, получим

Фе(Т) = 0(Т) - е(Т)0(Т) (5.74)

где

е(Т)= Г eBdX (5-75)

о

В принципе матрица обратной связи G(T) для цифровой системы может быть найдена из уравнения (5-74). Однако на нее накладываются ограничения, смысл которых поясняет последующее изложение.

Решение для G(T) в замкнутой форме. Для совпадения всех п состояний цифровой системы х{кТ) с состояниями непрерывной системы х (А;7) в каждый момент квантования достаточно, чтобы было справедливо уравнение (5-74). Однако оно состоит из скалярных уравнений с тп неизвестными элементами матрицы G{T). Если число переменных состояния п равно числу входов т и матрица 0(7) является невырожденной, то матрица обратной связи G(7) определяется в соответствии с (5-74) как

G(T) = [е(Т)] -1 [(Т) - ф{Т)] (5-76)

Для большинства систем управления п >т, т.е. переменных состояния больше, чем входных сигналов, и уравнение (5-74) не имеет решения;. Однако если ранг матрицы 0(7) удовлетворяет определенным условиям, речь о которых пойдет ниже, система уравнений (5-74) является совместной и по-прежнему имеет решение.

Положим

G(T)- [g, g2 ... g ] (5-77)

<МТ)-ф(Т)= [di d2 ... d ] (5-78)

гдеё/, / = 1, 2,..., и - w-мерные векторы, a d / = 1, 2,..., и - ичмерные векторы. Тогда, если

rank [в] = rank [e,dj] (5-79)

для всех г = 1, 2, . . ., и система уравнений (5-74) имеет, по крайней мере, одно решение. Если же условие (5-79) не выполняется, то уравнения являются несовместными и решение не существует.

Частичное совпадение состояний. В общем случае условие (5-79) ред-



ко выполняется для матриц6)(Т) и Ф(Г) - Фс(Т). Так, если п> 171,1:0 не для всех состояний непрерывной и цифровой систем можно добиться совпадения в моменты квантования.

Хотя точное совпадение всех состояний невозможно, покажем, что некоторые состояния или алгебраические суммы состояний могут совпадать в каждый момент квантования

Введем весовую матрицу Н, которая позволяет обеспечить частичное совпадение состояний. Перепишем уравнение (5-74) в виде

D(T) = ф{Т) - фт = e(T)G(T) (5-80)

Умножая слева обе части последнего уравнения на матрицу Н размерностью тХп, получим

HD(T) = Не(Т)0(Т) (5-81)

Если матрица Н выбрана так, что (т X /эт)-мерная матрица И0(Т) является невырожденной, то из уравнения (5-81) может быть найдша матрица G(7), обеспечивающая частичное совпадение состояний. Обозначим зту матрицу обратной связи через С(Т). Тогда

С(Г) = [И&(Г)]- НО(Г). (5-82)

Следует заметить, что матрица 0(7), определяемая соотношением (5-82), не удовлетворяет уравнению (5-80), если только матрица Н не является единичной. Это обьясняется тем, что при умножении уравнения (5-80) на матрицу Н система из уравнений превращается в систему из тп уравнений. Поэтому для п>т найденное решение не будет удовлетворять исходным уравнениям.

Для выясншия физического смысла преобразования уравнения (5-81) и решения (5-82) снова приравняем уравнения (5-69) к (5-71) и затем умножим обе части полученного равенства слева на Н. В результате получим

HxJ(k+ 1)Т] = HxJ(k+ 1)Т] = Нф(Т)х(кТ) + Не(Т)Е(0)г(кТ) = = Н[ф(Т) - е(Т)0(Т)]х(кТ) + Не(Т)Е(Т)г(кТ) (5-83)

6,(1)= j\(\m\ (5.84)

Для произвольных Xf.(kT), х(кТ) и г{кТ) соотношение (5-83) распадается на два уравнения:

Н0(Т)х(кТ) = Н[(Т) - е(Т)0(Т)]х(кТ) (5-85)

Не(Т)Е(0)г(кТ) = Не(Т)Е(Т)г(кТ) (5-86)

Важная особенность состоит в том, что G(7), т.е. решение уравнения (5-82), удовлетворяет уравнению (5-85) для любого начального состояния Хс(кГ). Умножение слева обеих частей переходных уравнений состояния (5-69) и (5-71) преобразует и-мерные векторы состояния Хс[(А:+ 1)7] и Xg[(k + 1)7] в новый т-мерный вектор у[(А:+ 1)7], который удовлетворяет соотношению



-[(15 + li)T.}Нх [(к + 1)Т] = Нх [(к + 1 )Т] (5-87)

Выражение (5-87) показывает, что т новых состояний yi\(k + 1)7], / = 1, 2, . . ., m, являются алгебраическими суммами п исходных переменных состояния, т.е.

У;[(к+ 1)Т] = Xhj.x.[(k+ 1)Т] Ч=1.2,...,т . (5-88)

Таким образом, матрица G(T), определяемая выражением (5-82), обеспечивает совпадение в моменты квантования т состояний цифровой системы и взвешенных алгебраических сумм п состояний непрерывной системы.

Определение матрицы обратной связи с помощью разложения в ряд. Хотя соотношшие (5-82) позволяет получить точное решение G(T), можно упростить зту процедуру с помощью разложения G(7) в ряд Тейлора в окрестности точки Г = 0. В общем случае, если этот ряд сходится, матрица G(7) может быть аппроксимирована суммой конечного числа членов ряда.

Разложим G(7) в ряд Тейлора в окрестности точки 7= 0: К-1

G(T) = Hm G(T) = lim Д

G(i)(T)=5to (5-90)

Oi T=0

Подстановка выражения (5-89) в уравнение (5-74) дает

Фс(Т) = 0(Т) - е(Т) Е т G(HT)TJ (5-91)

j=o J

Запишем уравнение (5-91) в виде

у [A-BG(0)]JTJ V f AJT f G()(T)T

A il - Л ji h i\ I L, (5-92)

j=0 J- j=0 J- i=oJ + k=0

у /[A-BG(0)]iTi AJTJ , AB у g№)(T)t!\ 934

Приравнивая теперь коэффициенты при Т\ г = 1, 2,.. ., к нулю, получаем

[А- BG(0)] А- Ai-J-iBG(i)(T)

i! (i-J)!J!

В общем случае можно выразить G~\Г) через G(~)(7), G(-3)(7),..., G()(r) HG(47),rfleG(o)(7) = G(0). Перепишем соотношение (5-94) в виде

[A-BG(0)r v A-i-lBG(J)(T) , BG(-)(T) 05-.

i! i! + .4 (i-j)!j! + (1-1)!



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147