Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

то, подставляя его вместо s в выражение (5-40), получим g(kT) = G( In z)eT(l/T)Inzd 1 i ,

(5-43)

При сравнении выражений (5-43) и (5-37) видно, что эти два интеграла совпадают с точностью до коэффициента l/T. Это означает, что Sa iT ), т.е. приближенное значение g(kT) может быть найдено с помощью разложения G[{l/T)\m]/T в ряд по степеням . Поэтому суть метода z-форм состоит в следующем.

1. В передаточной функции G(s) непрерывной системы заменяют на Tyinz и получают G[(l/7)lnz].

2. Значение g(kT)(k = 0, 1,2,...) определяется путем разложения G[{l/T)\nz]IT в ряд по степеням z . Однако вначале зто выражение должно быть представлено в виде рациональной функции от z, для чего необходимо аргумент 7)lnz приближенно записать в виде конечного ряда.

Представим Inz в виде следующего степенного ряда:

Inz = 2

Z- 1 . 1 Z+ 1 3

z- г

z- 1

Lz+ 1

-Z + 1.

[l - z-i

[l - z-l]

l-z-1]

1 + z-ij

1 + z-\

1 + z-l

z> 0

Тогда

u+-u3 + uS

(5-44) (5-45)

1 + z-1 (5-46)

Разделив числитель на знаменатель запишем выражение (5-45) в виде

S Inz 2

В общем случае для п положительных целых имеем

11 4 3

945 +

(5-47)

11 4 3

945

(5-48)

Заметим, что правые части выражений (5-47) и (5-48) представлены в форме ряда Лорана. Сохраняя только главную часть и постоянный член ряда Лорана, получаем

(5-49)

.s (1-z-)

где N (z~) - полином по степеням z~, а G (z ) называется z-формой



от s . Следует подчеркнуть, что поскольку при s = О z = 1, полюса обеих частей выражения (549) соответствуют друг другу. Поэтому учет дополнительных членов ряда привел бы к появлению дополнительных полюсов на плоскости z и, как следствие, к большим, а не меньшим ошибкам.

Продемонстрируем теперь определение z-форм для и = 1 и и = 2.

Для и = 1, используя главную часть ряда в выражении (5-47), получаем

1+ Z

1-.Z

(5-50)

Для п = 2 имеем

G,(z-1) =

т

Т2 12

1 -t- lOz-1 -I- Z-2

(1-z-iy

-1ч2

(5-51)

С использованием этой же процедуры получены и представлены в табл. 5.1 z-формы более высоких порядков.

Хотя z-форма для 1/s совпадает с выражением для интегрирования по методу трапеций, сушествует принципиальное отличие между представленным методом z-форм и методом численного интегрирования, рассмотренным выше.При использовании приближенного интегрирования по методам трапеций и прямоугольников непрерывная система вначале описывается цифровой моделью, а затем для получения выходного сигнала учитывается входной сигнал в цифровой форме. При применении метода z-форм, напротив, изображение по Лапласу входного сигнала вначале умножают на

Таблица 5.1

т 1 -1- z-1 2 1 - z-1

Т2 1 -t- lOz-l + z-2 12 (i-z-l)2

t3 z-1 + z-2 2 (i-z-l)3

>

z-1 + 4z-2 -t-6 (1-z-i) 720

z-1 -1- llz-2 + llz-3 -t- z 24 (l-z-l)5



передаточную функцию непрерывной системы, а затем в выражение C(s) подставляют z-форму для получения приближенного значения выходного сигнала (z

Поэтому этапы приближенного описания реакции непрерывной системы с помощью метода z-форм можно окончательно сформулировать следующим образом:

записывают изображение по Лапласу выходного сигнала системы C(s) в виде рациональной функции по степеням s ;

заменяют s~ соответствующими z-формами на основании табл. 5.1; в результате C(s) преобразуется в рациональную функцию по степеням z ;

для получения z) делят выражение, полученное на последнем этапе, на период квантования Т;

делением числителя на знаменатель преобразуют C(z) в степенной ряд вида

Сд(0) + Сд(Т)2-1 + Сд(2Т)2-2 + ... + Сд(кТ)2- -I- ...

где (кТ) - приближенное значение реакций c(t) при t = кТ.

Пример 5.1. Для иллюстрации метода цифровой аппроксимации на основе z-форм предположим, что передаточная функция разомкнутой системы управления с единичной обратной связью имеет вид

где/с - постоянный коэффициент усиления.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы в виде

C(s) К

R(s) + з + к 5- >

Для единичного ступенчатого входного сигнала изображение выходаюго сигнала К

C(s) = - ..

s(s -I- s + К)

Умножая числитель и знаменатель последнего выражения на s-з, получим

C(s) =

(5-54)

(5-55)

Подставим теперь соответствующие формы из табл. 5.1 и, умножая результат на Т, получим

1 + z

1 -I- lOz + z-

(1-z-V

(5-56)

1 -z

Упрошая последнее выражение, окончательно запишем

btKfz- + z-) -

(1 - z-l)[(12 -Ь 6Т + Т%) + (-24 + ЮТЮг- + (12 - 6Т + t4}z-]

(5-57)

Два корня уравнения

(12 + 6Т ч- ТЮг + (-24 + 10t2k)z + (12 - 6Т + ТК) = о (5-58)

определяют устойчивость цифровой модели, полученной с использованием z-форм. Применяя критерий устойчивости, можно показать, что значения К к Т, соответст-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147