Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Рис. 5.9. Кусочно-линейная аппроксимация, или интегрирование по методу трапеций

r(T}k г(т) Аппроксимация x(t)


Рис. 5.10. Входной сигнал интегратора X, (t) для системы, изображенной на рис. 5.2, и площади, представляющие собой результаты численного интегрирования по методам:

а - прямоугольников; б - прямоугольников с упреждением; в - трапеций


\0.5

Х,(11


Уравнение состояния системы имеет вид

х[(к -I- 1)Т] = х(кТ) + г[(к -I- 1)Т] -I- -г(кТ)

(5-28)

Переходная функция цифровой модели системы, изображенной на рис. 5.2, а, в которой используется интегрирование по методу трапеций, представлена на рис. 5.8. Этот метод интегрирования дает худшие результаты по сравнению с методом трапеций, что объясняется характеристиками рассматриваемой системы первого порядка. Запишем входной сигнал интегратора в непрерывной системе в соответствии с рис. 5.1,а в виде

V , л 0-5S с/ л 0-5 Xi(s)=-R(s) =

Поэтому

Xj (t) = 0.5е *

(t>0)

(5-29)

(5-30)

Численное интегрирование Xi(r) с помощью трех описанных выше схем иллюстрируется рис. 5.10. Поскольку в сигнале (г) имеется скачок в момент г = О, то при интегрировании по методам прямоугольников с упреждением и трапеций результирующие площади содержат участки, предшествующие моменту f = 0.

Условия устойчивости. Поскольку цифровая модель исследуемой системы должна быть устойчивой независимо от метода аппроксимации, необходимо проанализировать влияние на устойчивость схем интегрирования, рассмотренных в п. 5.2. Для этого воспользуемся методом корневого годографа, обладающим простотой и наглядностью, применив его к замкнутой системе, изображенной на рис. 5.11. Хотя в общем случае действительное влияние на устойчивость различных схем численного интегрирования зависит от передаточной функции моделируемой непрерывной



fi(s) r\ Ш

Q(j Рис. 5,11. Простая система с интегратором

системы, простая система с интегратором, изображенная на рис. 5.11, даст возможность качественно оценить устойчивость моделирования в целом. Передаточная функция разомкнутой непрерывной системы имеет простой вид

G(s)= = j (5-31)

Отсюда при Т = О корень характеристического уравнения z = 1, а при Т = = оо г = 0. Корни располагаются внутри единичной окружности для всех значений Т в диапазоне от О до °°. Позтому непрерывная модель всегда устойчива. Для интегрирования по методу прямоугольников передаточная функция рассматриваемой системы заменяется на 7У(г - 1). Система является неустойчивой для Т>2.

Для интегрирования по методу прямоугольников с упреждением имеем

G(z)= (5-32)

Система вновь является устойчивой для всех значений Г от О до °°. Для интегрирования по методу трапеций получаем

G(z)=

Z-I- 1

(5-33)

Lz- и

и цифровая модель устойчива для всех конечных Т. Результатом этого анализа является вывод о том, что интегрирование по методу прямоугольников, как правило, наихудшим образом влияет на устойчивость системы.

Известны и более сложные схемы численного интегрирования, например методы Симпсона. Однако соответствующие передаточные функции имеют высокий порядок, что вызывает серьезные проблемы, связанные с устойчивостью моделей. Поэтому применительно к системам управления методы интегрирования высокого порядка используются редко.

5.4. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ z-ФОРМ

Неудобство рассмотренных выше способов численного интегрирования для цифрового моделирования состоит в том, что в передаточной функц системы вначале должны быть в явном виде выделены интеграторы, которые затем заменяются схемами численного интегрирования. Упрощенная процедура основана на использовании z-форм. Метод z-форм, рассматриваемый ниже, является более простьин в связи с тем, что имеется возможность использовать непосредственно передаточную функцию непрерывной системы в области для преобразования ее в эквивалентную дискретную передаточную функцию в z-области.



Jll) C+JCO

s-ппоскость JUs

Рис. S.12. Путь интегрирования для формулы (5-35)

Предположим, что имеется непре- ----

рывный сигнал Тогда g(i) и его изображение по Лапласу G(s) связаны соотношением

G(s) = g(t)etdt (5.34)

g(t)= 2/ 0(8)08 (5-35)

Если сигнал g(t) квантуется по времени с периодом Т, то дискретный сигнал описывается выражением

-4-

C-JDO

(5-36)

g*(t)= X g(kT)6(t-kT) к=0

(Йг) (5-37)

а контур Г представляет собой окружность на плоскости z, описьтаемую уравнением \z\ = еТ Интеграл (5-35) вычисляется вдоль линии, изображенной на рис. 5.12. Разделим путь интегрирования от с - /°° до с + /°° на s-плоскости на три части, как показано на рисунке. Тогда выражение (5-35) может быть записано в виде

g(t) = /. G(s)e. ds-b.i/ G(s)e. ds-b

C-J*

c-jojg/2

-b Г G(s)e* ds

(5-38)

где ojj = гтг/Г.

Если период квантования достаточно мал, то g(i) приближенно описывается соотношением

g(t)i

.c+jojg/2

G(s)e* ds

(5-39)

Заменяя г на АгГ и обозначая правую часть последнего выражения как gj (7), имеем

c+ju /2

- g(kT)gA(kT)=2 G(s)eTsds (5-40)

Поскольку S и z связаны соотношением

S = In Z

(5-41)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147