Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

5.3. ЦИФГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Другой распространенный метод цифрового моделирования непрерывных систем состоит в использовании численного интегрирования. Поскольку интегрирование - наиболее трудная, требующая больишх временных затрат основная математическая операция ЭВМ, ее цифровое моделирование имеет большое значение. Вместо введения фиктивных устройств выборки и хранения в непрерывную систему в рассматриваемом методе используется приближенное описание непрерывной операции штегрирова-ния численными методами. Эта задача может быть также сформулирована как цифровое моделирование интеграторов s * на непрерьшной диаграмме состояния. На рис. 5.4 изображен интегратор как элемент диаграммы состояния. Запишем соотнощение входного и вьисодного сигналов в виде

x(t)= f*r(T)dT (5-18)

(5-19)

R(s) S

Если входной сигнал интегратора г(т) имеет вид, показанный на рис. 5.5, выходной сигнал x{t) равен площади под кривой г(т) между точками т = О и т = г.

Интегрирование по методу прямоугольников. Одним из стандартных методов численного интегрирования является метод прямоугольников, два варианта которого представлены на рис. 5.6. Интегрирование приближенно заменяется суммированием площадей прямоугольников шириной Т под ступенчатой линией, аппроксимирующей входной сигнал. Метод прямоугольников эквивалентен введению квантования совместно с экс-траполятором нулевого порядка перед каждым интегратором, как показано на рис. 5.6. Схема, представленная на рис. 5.6,а, соответствует методу прямоугольников, а на рис. 5.6,6 - методу прямоугольников с упреждением.

На основании рис. 5.6, я, можно записать дискретную передаточную функцию интегрирования по методу прямоугольников

R(z)

Ls2j

Z- 1

Уравнение состояния имеет вид

х[(к + 1)Т]= х(кТ) -I- Тг(кТ)

(5-20)

(5-21)

Рис. 5.4. Изображение интегратора в виде r(z) диаграммы состояния

rft) о-

Рис. 5.5. Связь входного и выходного сигналов интегратора

Плош,адь=хЦ)




r(r)

rfz)


Аппроксимаций

r(v)

I I

0 T 2T 3T 5T

Аппроксимация


0- T 2T 3T 4T 5T

rmX.

Упрем-

дение MoT

x(t)

Рис. 5.6. Численное интегрирование по методу прямоугольников (а) и по методу прямоугольников с упреждением (б)

Аналогично запишем дискретную передаточную функцию интегрирования по методу прямоугольников с упреждением в виде

R(z)-

Ls2j

Tz z-1

(5-22)

(5-23)

a уравнение состояния в виде

х[(к -I- 1)Т] = х(кТ) -I- Тг(к -I- 1)Т

В качестве иллюстрации непрерывная система, изображенная на рис. 5.2, а, моделируется вначале с помошью интегрирования по методу прямоугольников. Диаграмма состояния цифровой модели представлена на рис. 5.7 с учетом замены интегратора 1/s передаточной функцией T/(z-l).

Преобразование вьисодного сигнала цифровой модели при единичной ступенчатой функции на входе {К=\,Т= 0,25 с) имеет вид

0.125Z

( = (z-l)(z- 0.75) (5-24)

Раскладывая C(z) в ряд, получаем

С(2;) = 0.125Z-* + 0.218z- + 0.288z-3 + 0.34z- +

+ 0.379Z-5 + 0.408z- + 0.43 Iz + QASz +

+ 0.463Z- + 0.473z- + ... . Переходная функция изображена на рис. 5.8 вместе с результатами моделирования по схеме с квантованием и фиксацией. При использовании метода прямоугольников с упреждением передаточная функция интегратора 1/s в непрерывной схеме заменяется на Tzl{z - 1).При/Г= 1 и Г =0,25 с z-преобразование выходного сигнала цифровой системы в случае единичного ступенчатого сигнала на входе имеет вид

Crz)

(Z - l)(z - 0.8)

(5-25)

а соответствующая переходная функция изображена на рис. 5.8.

Сравнение результатов показывает, что оба варианта моделирования с Использованием интегрирования по методу прямоугольников дают худ-



R(s) 1


ВТ вт ЮТ пт т

Рис. 5.7. Диаграммы состояния для системы управления, язображенной на рис. 5.2, с интегрированием по методу прямоугольников:

а - диаграмма состояния непрерывной системы; б - переход к численному интегрированию по методу прямоугольников; в - диаграмма состояния цифровой модели с интегрирование по методу прямоугольников

Рис. 5.8. Сравнение различных методов цифрового моделирования: 1, 2 к 3 - соответственно интегрирование по методам прямоугольников с упреждением, трапеций и прямоугольников; 4 - схема с квантователем и экстраполятором нулевого порядка; 3 - схема с квантователем и линейным экстраполятором (непрерывная система)

шйе результаты по сравнению со схемой, использующей квантование и фиксацию. Метод прямоугольников с упреждением приводит к скачкообразному изменению выходного сигнала при г = О, хотя переходная функция оказывается близкой к истинной после значительных ошибок для нескольких первых периодов квантования.

Интегрирование по методу трапеций. Значительно более точная схема численного интегрирования получается при использовании кусочно-линейной аппроксимации, как показано на рис. 5.9, а. Площадь под кривой г(т) может быть приближенно заменена суммой площадей трапеций с основанием Т. Очевидно, что с уменьшением периода квантования Г может быть достигнута любая заданная точность аппроксимации. Этот способ приближенного интегрирования, основанный на кусочно-линейной аппроксимации, называется интегрированием по методу трапеций. Он эквивалентен введению квантователя и линейного экстраполятора перед каждым интегратором, как показано на рис. 5.9, б.

Так как передаточная функция линейного экстраполятора имеет вид

Gb(s) =

gTs + е-Т - 2 Ts2

(5-26)

то передаточная функция соответствующего метода интегрирования X(z) z+z- -2

R(z)

1

\z+ l]

.z- 1.

(5-27)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147