Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

s->

r(fiT) е(кГ) ЦкП nis)

(s) X,(s) C(sl

Рис. 4.18. Диаграмма состояния для импульсной системы управления, изображенной на рис. 4.16.

Для периода квантования Г = 1с и единичного ступенчатого входного воздействия r(ty = Ugit) имеем

в(\) =

0.632 0.632 -0.632 0.368

0.368 0.632

Тогда

[zl-0(l)]-lz =

Z + 0.632

Z-0.632 -0.632

0.632 Z - 0.368

Z-0.368 0.632

-0.632 Z - 0.632

(4-404) (4-405)

(4406)

т = Г [[zl-0(l)]-lz

e--23k( o.378sin0.88k + cos0.88k)

-fe-°-23ksin 0.88k e-°-23(-0.786sin0.88k + cos0.88k)

Кроме того,

0[(Ы-к-1)]в(1) =

(4407)

(4408)

x(N) =

g-0.23(N-k-l)jQ 493gj 0 88(f l) + 0.368cos0.88(N-k-l)l

g-0.23(N-k-l)j Q 8g5gj o.88(Nk-l) + 0.632cos0.88(N-k-l)] Поэтому дискретное уравнение переходных состояний систеглы имеет вид

e-0-23N( o 378gin0.88N + cos0.88N) e-°-23Nsin0.88N

g-0.23Ngj Q ggf e°-2(-0.786sin0.88N + cos0.88N)

g-0.23(N-k-l)jQ 4933Jn0.88(N-k-l) + 0.368cos0.88(N-k-l)]

Xj(0)

IViaN= 1,2,3,

g-0.23(N-k-l)j o 865sin0.88(N-k-l) + 0.632cos0.88(N-k-l)]

(4409)



Рис. 4.19. Диаграмма состояния для D(z) = = (а,+a,z )/(l + b.z-)

Пример 4.15. Проведем анализ в пространстве состояний импульсной системы с цифровым регулятором. Рассмот-biyXsfi) 1/(г) Р структурную схему, изображенную Х(КТ) u(hT) а рис. 4.14. Цифровой регулятор, который может быть реализован на основе ЭВМ, описывается передаточной функцией ,-1


е(кТ)

D(z) =

Bg -I- ajZ

l + biZ

(4-410)

a G(s) задается выражением (4-397).

Необходимо изобразить диаграмму состояния и получить переходные уравнения состояния ртя рассматриваемой системы.

Применяя к?(7) схему непосредственной декомпозиции, имеем

() (1 -I- bjZ-l)X(z)

Положим

U(z) = (82 + ajZ-)X(z)

E(z) = (1 И- bjZ-)X(z) В соответствии с выражением (4-413) имеем .-1-<

(4411)

(4-412) (4-413) (4-414)

X(z) = E(z) - bjZ-X(z)

Диаграмма состояния для цифрового регулятора представлена на рис. 4.19 с использованием выражений (4-412) и (4-414).

На основании рис. 4.19 запишем уравнения динамики, характеризующие D(z) в виде

хз[(к+ \)Т\ = е(кТ) - bix-i(kT) (уравнениесостояния); (4-415)

uikT) = a2e(kT)+ (а - aibi)x3(kT) (уравнениевыхода). (4-416)

Диаграммы состояния для G(s) и экстраполятора нулевого порядка бьши получены в примере4.14. Диаграмма состояния всей системы представлена на рис. 4.20.

Применяя формулу Мэсона для выходных узлов Xi(s) и Xiis) (см. рис. 4.20), получаем

а t а, - a bi

l(> = Т - о ifkT) + ;7~v X (кТ) -I- - Хз(кТ) +

s2(s -I- 1)

г(кТ)

(4-417)


rlht) е(кТ)

Уг(б) X,(s) Cfs)

Рис. 4.20. Диаграмма состояния для импульсной системы управления, изображенной на рис. 4.14



= i(iTl) -l(T) + Х2(кТ) + Хз(кТ) + г(кТ)

(4-418)

Заметим, что в этом случае xi(kT), xikT), х{кТ) и гфТ) рассматриваются в качестве входных сигаалов. Примшяя формулу Мэсона также и к хз(Л + \)Т, имеем

хз[к -I- 1)Т]= -Xi(kT) - bjXgCkT) -I- г(кТ)

Выражение (4-419) совместно с (4-417) и (4-418), если для последних найдеио обратное преобразование Лапласа, при замеие f на (к л- 1)7 образует дискретные уравнения состояния системы

Xj(k -1- 1)Т

l-agCT-l-f-e- )

1 - е-Г (aj - a2bi)(T - 1 -1- е )

Xi(kT)

Х2(к + 1)Т

-agCl-e-T)

8- (ai-a2bi)(l-e-)

Х2(кТ)

ХдСк -1- 1)Т

0 -bj

Хз(кТ)

agCT-l + e-) agd-e- )

г(кТ)

(4420)

Уравнение выхода имеет вид с(кТ) = xi(kT). Теперь можно решить уравнение (4420) с использованием метода, описанного в примере 4.14.

4ЛО. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ КВАНТОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ СОСТОЯНИЯ

Метод пространства состоян.ий может применяться для определения реакции систем между моментами квантования. Он представляет собой альтернативу методу модифицированного z-преобразования.

На основании (4-46) находим вектор х(Г) для любого t>toB виде

x(t) = 0(t - to)x(to) +\ 0(t - 7)Bu(r)dr (421)

если х(о) и u(t) определены для t>to. При условии, что u(f) - константа для to<T<t,загаинем выражение (4421) в виде

x(t) = 0(t - to)x(to) -I- Bit - to)u(to)

(4422)

u(t )=u(7) to<r<t

Если теперь требуется определить реакцию между моментами квантования, положим



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147