Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147


Ряс. 4.13. Диаграмма состояния для выражения (4-392) , полученная параллельной декомпозицией

тавшиеся имеют кратность п слагаемые запишем

где п > т. Предположим, что одина- ковые нули и полюсы в D{z) отсутствуют - и что среди п собственных значений i являются различными, а ос-i, тогда с помощью разложения иа простые

D(z)= £

чк-i

(4-390)

где первое слагаемое соответствует различным собственным значениям dji, к = 1,2, . . ., г, а второе - кратным, причем через di+ i = cf, + 2 ~ = d обозначено собственное значение кратности и - i.

Для изображения диаграммы состояния перепишем выражение (4-390) в виде

D(z)=

К, Z

kti 1 + dz- k=7+l (1 + dz-1 f-

(4-391)

Передаточная функция D(z) теперь представлена в виде диаграммы состояния, которая состоит из основных блоков, изображенных на рис. 4.12, б, соединенных параллельно. Важно отметить, что параллельная декомпозиция приводит к системе уравнший состояния в канонической форме при различных собственных значениях или в общем случае к системе в жордановой канонической форме. Следующий пример иллюстрирует основные особенности параллельной декомпозиции.

Пример 4.13. Рассмотрим передаточную функцию

D(z) =

C(z) 10(z-f z-I-1) R(z)

z2(z-0.5)(z-!0.8)

(4-392)

собственные значения которой равны z = 0; 0; 05; 0,8. Необходимо преобразовать эту передаточную функцию с помощью параллельной декомпозиции и затем определить уравнения динамики данной системы.

В результате разложения D(z) на простые слаганные имеем

п -233.33 1 127.08 , 25 , 106.25 > ~ Z 0.5 Z - 0.8 Л z

Передаточная функция D(z) реализуется параллельным соединением звеньев первого порядка, представленных на рис.4.13.

Следует заметить, что, поскольку £(z) имеет четвертый порядок, иа диаграмме должно быть только четыре блока задержки. На рис. 4.13 изображена также реализация минимального порядка для заданной передаточной функции. Уравнения состояния системы записываются по известной методике. В результате имеем



xi(k+l)

xi(k)

X2(k+1)

X2(k)

хз(к+1)

Хз(к)

106.25

X4(k+1)

X4(k)

r(kT)

(4-393)

что представляет собой каноническую форму Жордана. Уравнение выхода записывается в виде

с(к) = [-233.33 127.08 1 0]х(к) .. (4-394)

4.19. ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Импульсные системы управления обычно содержат как цифровые, так и аналоговые элементы. Эти два типа элементов соединяются вместе через устройства выборки и хранения. В качестве-иллюстрации на рис. 4.14 показана структурная схема импульсной системы управления. Система состоит из цифрового регулятора, экстраполятора нулевого порядка и непрерывного процесса. Покажем, каким об>азом к цифровым системам такого типа можно применить методы диаграмм состояния и анализа в пространстве состояний. Однако перед получением диаграммы состояния для всей системы, изображенной на рис. 4.14, необходимо определить диаграм-му состояния экстраполятора нулевого порядка.

Диаграмма состояния экстраполятора нулевого порядка. Обозначим входной и выходной сигналы экстраполятора нулевого порядка через e*(t) и h{t) соответственно. Тогда для интервала kT<:t<{k + 1)7имеем

h(t) = е(кТ) (4-395)

Вычисляя преобразование Лапласа от обеих частей последнего выражения, получаем

S (4-396)

для kT<:t<{k+ 1)Т. Поэтому диаграмма состояния экстраполятора нулевого порядка состоит из единственной ветви, соединяющей узлы е{кТ) иЯ(х) , как показано на рис. 4.15. Коэффициент передачи ветви равен s .

Пример 4.14. Рассмотрим импульсную систему управления, изображенную на рис. 4.16. Необходимо построить диаграмму состояния и записать уравнения состояния для этой системы. Диаграмма состояния для передаточной функции объекта управления

<>ф+Т) (4-397)

полученная методом непосредственной декомпозиции, изображена на рис. 4.17.

h(t)

Процесс

c(t)

Рис. 4.14. Импульсная система управления



е(т tl(s)

Рис 4.15. Диаграмма состояния экстраполятора нулевого порядка для кТ < < t < (к + 1)Т

h(t)

Рис. 4.16. Импульсная система управления

Диаграмма состояния всей системы в целом представляет собой соединение диаграммы состояния, изображенной на рис. 4.17, и диаграммы состояния экстраполятора нулевого порядка с учетом соотношения

е(кТ) = г(кТ)-с(кТ) =r(kT)-Xj(kT) (4-398)

Кроме того, полагая io = кТи

h(kT*) = h(t) = е(кТ) kT<t<(k-f,l)T (4-399)

получим полную диаграмму состояния системы, представленную на рис. 4.18.

Переходные уравнения состояния в векторно-матричной форме относительно изображений записываются непосредственно по виду диаграмм состояния с использованием формулы Мэсона:

Xi(s)

s(s + 1)

s + 1

Xi(kT) XgCkT)

8(8 -f 1)

S(S + 1)

r(kT)

(4-400)

р.лякТ<1<{к+ 1)T.

Вычисляя обратное преобразование Лапласа от обеих частей последнего уравнения, получаем

Xi(t)

2-(t-kT)-e-<*

j g-(t-kT)

Xj(kT)

XgCt)

l + e-(t-kT)

e4t-kT)

X2(kT)

(t - кТ) - 1 -f-e-(*~> l e-(t-kT)

r(kT)

(4-401)

Xj(k + 1)T

XgCk -f 1)T

-l-t-e-T e-T

XgCkT)

l-e

дляЛГ* f < (fc+ 1)Г.

Если значения переменных состояния представляют интерес только в момент квантования, то полагаем t= {к + 1)Т. Тогда уравнение (4-401) принимает вид

Т -1 + е-

г(кТ) (4-402)

Уравнение (4-402) запишем аналогично уравнению (4-83) :

i(tj) X,(ф х[(к + 1)Т] = </(Т)х(кТ) + е(Т)г(кТ) (4-403)


\ /<,i с1 г/г\ Рис. 4.17. Диаграмма состояния для переда-

X,(S) X,(S) Ш) , , йфу циРс(8) = 1/П(8-Ц)1



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147