Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

членов ряда представляют собой значения весовой последовательности цифровой системы. Так, коэффициент при члене z соответствует значению весовой последовательности в момент t = кТ. Очевидно, что для физической реализуемости цифровой системы при разложении Z)(z) в степенной ряд в нем не должно содержаться ни одного члена с положительным показателем степени. Положительный показатель степени у z среди членов ряда указывает на наличие упреждения или, другими словами, на то, что вьгходной сигнал предшествует входному. Поэтому, чтобы Z)(z) в выражении (4-377) представляла собой физически реализуемую передаточную функцию, наивысший показатель степени знаменателя должен быть равным соответствующему показателю степени числителя или превосходить его, т.е. и > т.

Довольно часто D(z) имеет одинаковое число полюсов и нулей и записывается в виде

а , + а z + ... + а, D(z) = -5-;-. (4-378)

где пит - положительные целые числа. В этом случае знаменатель D(z) не должен содержать общего множителя . Иными словами, в формуле (4-378) Ьтг 0.

Реализация дискретной передаточной функции на ЭВМ в общем случае может осуществляться тремя различными способами: непосредственной, последовательной или параллельной декомпозицией. Эти три метода декомпозиции иллюстрируются ниже в терминах диаграмм состояния.

1. Непосредственная декомпозиция. Предположим, что передаточная функция цифрового регулятора имеет вид

п, . C(z) Vi + n +Vi +-+i

>=R(I) = .b z-4-b ,z-4-....b,z- (4-379)

m+l m m-l 1

где йт + 1 0; m м n - положительные целые числа; C(z) и R{z) - z-преобразования выходного и входного сигналов регулятора, соответственно. Построим диаграмму состояния, поскольку она совпадает с реализацией системы на ЭВМ.

Умножим числитель и знаменатель выражения (4-379) на переменную X(z). В результате получим

( (brr,.! + b z-l + b iZ-2 + ... + bjZ- )X(z) (4-380)

Приравнивание числителей в последнем равенстве дает C(z) = (а ,1 + a z-i + a iZ-2 +...+ az--)X(z) (4-381)

Та же операция для знаменателей приводит к выражению

= iK.l + V + rr.-i- + - + biZ--)X(z) (4-382)

Чтобы построить диаграмму состояния, выражение (4-382) должно




Rlz)

Рис. 4.11. Диаграмма состояния Д11я передаточной функции (4-379) при m = п = 3 полученная непосредственной декомпозицией

быть записано с указанием причинно-следственных связей. Разрешая выражение (4-382) относительно X(z), получаем

X(z)=R(z)-z-iX(z)-

(4-383)

m-1 2

X(z)-...-

X(z)

Диаграмма состояния для выражений (4-381) и (4-383) изображена на рис. 4.11 при условии, что т - п = Ъ. Для простоты на диаграмме не представлены начальные состояния. Эта диаграмма может служить основой программы для ЭВМ, при этом ветви с коэффициентами передачи г реализуются временной задержкой или запоминанием на Г секунд.

Диаграмма состояния (см. рис. 4.11) может быть использована, конечно, и для аналитических расчетов. Определяя в качестве переменных состояния выходные сигналы узлов всех блоков задержки и применяя формулу Мэсона, можно получить уравнение динамики и переходное урав иение состояния непосредственно из диаграммы состояния.

Поскольку дискретные уравнения состояния представляют собой систему разностных уравнений первого порядка, для применения формулы Мэсона блоки задержки с коэффициентом передачи ветви z должны быть исключены из диаграммы состояния.

Применяя описанную выше процедуру к диаграмме состояния, показанной на рис. 4.11, запишем уравнение состояния в виде

xj(k+ 1)= Х2(к) XgCk-f 1)=-Хз(к)

Хз(к + 1) = - Xj(k) - Х2(к) - хз(к) + г(к)

(4-384)

4 * 4 А 4

Отсюда можно сделать вывод, что непосредственная декомпозиция всегда приводит к модели системы в пространстве состояний в канонической форме фазовой переменной.

2. Последовательная декомпозиция. Если передаточная функция Z)(z) задана в форме сомножителей, ее можно записать в виде произведения пе-



редаточных функций первого порядка, каждая из которых реализуется простой программой для ЭВМ или иллюстрируется соответствующей диаграммой состояния. Исходная передаточная функция D{z) в этом случае заменяется последовательным соединением программ или диаграмм состояния, соответствующих передаточным функциям первого порядка.

Предположим, что передаточная функция цифровой системы записана в виде

nrz = см = K(-+SH+S)-(+m) (4.385)

R(z) (z-f-di)(z-f d2)...(z +d )

где n > m; - Cj, /= 1, 2, .... иг и - dj, / = 1, 2, . . ., 7? - нули и полюсы D{z), соответственно. В общем случае эти полюсы и нули могут быть действительными или комплексными, хотя работа с комплексными числами в программе может представлять трудности. Поэтому форму D{z), задаваемую выражением (4-385), лучше всего использовать для действительных полюсов и нулей.

Записывая D{z) в виде произведения коэффициента А и передаточных функций первого порядка, получаем

D(2)=KDj(z)D2(z)...D (z) 4 3gg

z -Ь с, 1 -f с, z

k(> = = 77775 k=m+l,m-f 2,...,n (4.388)

Диаграмма состояния для выражения (4-387) представлена на рис. 4.12, а, а для выражения (4-388) - ка рис. 4.12,5. Общая программа, реализующая D{z), получается в результате последовательного соединения элемента К = Оо/Ьо с программами первого порядка для (г), представленными на рис. 4.12.

Когда диаграмма состояния построена полностью, непосредственно по ее виду на основании формулы Мэсона могут быть записаны уравнения состояния и выхода.

3. Параллельная декомпозиция. Передаточная функция D{z) может быть реализована также с помощью параллельной декомпозиции; в данном случае в форме сомножителей необходимо представить только знаменатель D(z).

Пусть передаточная функция цифровой системы представлена в виде

C<z\ z* + az - + ... -f a z -f a, D(z) = Ш = К ~ . .--. . (4-389)


Рис. 4.12. Диаграммы состояний для выражений (4-387) и (4-388)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147