-(t-to) -2(t-to) -(t-tp) -2(t-tQ)

1 -(t-to) 1 -2(t-to) 2 2

-(t-to) -2(t-t ) e -e

t>to

(4-359)

и представляет собой переходное уравнение состояния системы.

Заметим, что при выводе последнего уравнения предполагалось, что t - to, поэтому использовалась следующая формула обратного преобразования Лапласа:

.S + а.

-a(t-t )

,t>to

(4-360)

Дпя сравнения читатель может найти переходные уравнения состояния с использованием выражения (446).

Уравнения состояния системы определяются из диаграммы состояния в результате применения формулы Мэсона к узлам Xi(t) и 2(0 при входных сигналах r(t), xiit) и X2(t). При этом ветви с коэффициентом передачи s-i исключаются из диаграммы состояния, поэтому уравнения динамики системы записываются в виде

dx,(t)

dt dXgCt)

c(t)=[l 0]

0 1

.-2 -3

Xj(t)

X2(l)

Xj(t) Xgft)

(4-361)

r(t)

(4-362)

Передаточная функция системы обычно определяется с помощью преобразования по Лацласу уравнения (4-357). В то же время, применяя формулу Мэсона для то-чекД(х) иС( ) на диаграмме состояния (см.рис.4.8) и полагая начальные состояния нулшыми, получаем

Ш = 1

R() s2 + 3s+2

(4-363)

Диаграмма состояния цифровых систем. Если цифровая система описывается разностными уравнениями или дискретными уравнениями состояния, то связи между дискретными переменными состояния можно отразить с помощью диаграммы состояния. В то время как структурная схема программы АВМ имеет сходство с непрерывной диаграммой состояния, цифровая диаграмма состояния изображает операции на цифровой вычислительной машине (ЭВМ).

К числу линейных операций ЭВМ относятся: умножение на константу, сложение нескольких переменных, временная задержка или запоминание. Математическое описание этих основных цифровых операций вместе с соответствующими z-преобразованиями представлены ниже.

1. Умножен иена константу: х2(кТ)= axi(kT) X2(z)= aXi(z)

2. Сумм ирован ие: Хз(кТ)= Xi(kT)+ XgCkT)

Хз(2)= Xj(z)+ XgCz)

3.Временная задержка или запоминание:

х2(кТ)= Xj[(k+ 1)Т]

X2(z)= zXi(z)-zxi(0)

Xj(z)= z-lX2(z)+ xj(0)

(4-364) (4-365)

(4-366) (4-367)

(4-368) (4-369)

Изображения диаграмм состояния и соответствующих структурных схем ЭВМ для этих операций представлены на рис. 4.9.1 ассмотрим пример для иллюстрации построения и использования диаграммы состояния цифровой системы.

пример 4.12. Предположим, что цифровая система описывается разностным уравнением

с(к + 2) + 2с(к + 1) + Зс(к) = г(к) (4-370)

Диаграмма состояния системы, представленная на рис. 4.10, получена в результате решения уравнения (4-370) относительно первой переменной.

За переменные состояния системы приняты выходные сигналы блоков задержки на диаграмме состояния. Пренебрегая начальными состояниями и ветвями с коэффициентами передачи z-i, запишем уравнение состояния системы в виде

г(к)

(4-371)

- {Т}- о- -о

Sadepwha j,(/,r)

(запоминание) -- о-

на время! (г)

-- в)

х,(0)

Рис. 4.9. Основные элементыцифровой диаграммы состояния и соответствующие операции ЭВМ

т 1 Х2(МН) z->

fy(H}i cm

Рис. 4.10. Диаграмма состояния цифро- jTXi вой системы, описываемой уравнен -ем (4-370))

и уравнение выхода в ввде

с(к)-[1 0]

x (fc)

(4-372)

Переходное уравнение состояния системы, которое является решением уравнения (4-371), о1Ч)еделяегся из диаграммы состояния на основании формулы Мэсона. Используя Xiiz) и X2(z) в качестве выходных узлов, a/?(z), jti (0) ИХ2 (0) в качестве входных узлов, имеем

х(0) Х2(0)

R(z)

Д = 1 -f 2z- -f 3z-2

(4-373)

(4-374)

Уравнение (4-373) является переходным уравнением состояния в области z-преобразования. Общая форма этого уравншия задается выражением (4-131), т.е.

X(z) = (zl - A)-zx(O) -f (zl - A)-lBR(z) (4-375)

Одно из преимуществ диаграммы состояния заключается в том, что уравнение (4-373) легко выводится с помощью формулы Мэсона. Это позволяет избежать обращения матрицы (zl - А), которое требуется при использовании формулы (4-375).

Пфеходное уравнение состояния во временной области находится из выражения (4-373) с помощью обратного z-преобразования.

Передаточная функция между выходом и входом системы определяется из диаграммы состояния в виде

C(zi) R(z) R(z)

1 -f 2z + 3z 2

-f 2z -I- 3

(4-376)

4.18. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

В общем cnjiae передаточная функция цифрового регулятора или системы D(z) может быть реализована с помощью импульсных ?С-фильтров, универсальной и специализированной ЭВМ. Благодаря преимуществам в скорости вьиисления, емкости памяти и гибкости ЭВМ находят все более широкое применение в системе управления. Более того, дискретная природа сигналов, воспринимаемых и обрабатываемьгх цифровым регулятором, позволяет легко реализовать дискретную передаточную функцию на ЭВМ.

Априорное требование к передаточной функции D(z) состоит в том, что она должна быть физически реализуема. Условие физической реализуемости произвольной линейной системы предполагает, что выходной сигнал системы не может возникнуть прежде, чем будет приложен входной сигнал. Предположим, что передаточная функция £)(z) цифрового регулятора выражается отношением двух полиномов:

D(z) =

z -f az - -f ...-f aj

b .i- +b z -l + ...+ bj

(4-377)

Известно, что при разложении D(z) в ряд по степеням z коэффициенты