Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Вновь уБел 1Ч11ва;с на единицу время или шаг в выражении (4-317) получаем

у. (к Л- 2) = УдСк -f- 1) = yg(k) = М, Аж(к -1- 1) = МА2х(к) (4-318)

где уч:гено, что Mj АВ = 0.

Псзторение данной процедуры л - 1 раз дает в итоге

-t- 1) = у (к) = Mj А -1х(к) (4-319)

с yiexoM l&iA ~B = 0. Поэтому, объединяя полученные результаты, имеем

У2(к)

= Мх(к) =

yjk)

У(к) =

Таким образом, для произвольного х(к)

х(к)

н, кроме того, матрица Mj удовлетворяет условию

С учетом зыражеиж (4-305) записываем j(k - I] =- Mx(i; 1- l)=MAs(k) I- МВы(к) =

= МАМ у(к) -I- iMBu(k) Сравнивая выражения (4-323) и (4-307), получаем

А,= МАМ

Тогт, с уеехог.; внргжекиг (4-321) запишем 1

-1 ~

(4-320)

(4-321)

Поскольку Ml - матргща размерностью 1X и, выражение (4-326) запишем н виде .



Mj[B АВ AB ... A -B] = [0 0 ... 1] (4-327)

Отсюда находим

М- = [О О ... 1][В АВ АВ ... А -1в]-1 = (4-328)

= [0 0 ...

если матрица S невырождена. Ниже будет показано, что условие невырожденности матрицы S является условием полной управляемости по состоянию. После того как Mi определена в соответствии с (4-328), находим матрицу М по формуле (4-321).

Теорема 4.3. Две системы, описываемые уравнениями состояния (4-303) и (4-307) и связанные преобразованием подобия (4-324) и (4-325), имеют одинаковые собственные значения.

Доказательство. Собственные значения системы (4-303) являются корнями характеристического уравнения

Л!-А= 0 (4-329)

Для системы (4-307) характеристическое уравнение имеет вид

М - Aj I = М - МАМ- I = О (4-330)

Уравнение (4-330) перепишем в виде

1ЛММ-1 - МАМ- 1=0 ,. (4-331)

М(Л1 - А)М- I = О (4-332)

Так как определитель произведения матриц равен произведению их определителей, получаем

М(Л1 - А)М-11 = IMIIXI - AIIM-11 = IXI - А (4-333)

Это доказывает, что характеристические уравнения двух систем идентичны, а следовательно, долхшы быть идентичны и их собственные значения.

Смысл теоремы 4.3 состоит в том, что для любой цифровой системы с одним входом и уравнением состояния вида (4-303) собственные значения могут быть выбраны произвольным образом с помошью обратной связи по состоянию и(к) = - Gx(/:), если матрица S в выражении (4-304) невырож,цена. Кроме того, можно преобразовать систему к канонической форме фазовой переменной с тем, чтобы упростить вьмисление постояв-ных коэффициентов усиления обратной связи и(к) = - Gj у(А:) преобразованной системы по заданным собственным значениям. Коэффициенты усиления обратной связи исходной системы окончательно определяются из соотношения

G=G,M (4-334)

Для общего многомерного случая необходимое и достаточное условие произвольного задания собственных значений системы с обратной связью по состоянию заключается в том, что матрица 8(и X пг) должна иметь ранг п. Строгое доказательство этого условия математически сложно и здесь не приводится.



Следующий пример иллюстрирует метод синтеза по заданным собственным значениям с использованием канонической формы фазовой переменной.

Пример 4.10. Предположим, что уравнения состояния цифровой системы второго порядка представлены в виде

х(к -I- 1) = Ах{к) + Ви(к) (4-335)

(4-336)

Требуется найти матрицу коэффициентов G для обратной связи по состоянию и(к) = - Сх(к), такую, чтобы собственные значения замкнутой системы были равны: Л.1 = 0,4 и Л.2 = 0,6. Собственные значения матрицы А равны л. = 1, 1. Таким образом, обратная связь по состоянию располагает эти собственные значения внутри единичной окружности на z-плоскости, делая систему устойчивой.

Хотя элементы матрицы G можно определить, приравнивая коэффициенты требуемого характеристического уравнения

(Л - 0.4)(Л - 0.6) = - X + 0.24 = О (4-337)

к коэффициентам уравнения

M-A + BGI = 0 (4-338)

преобразуем вначале систему к канонической форме фазовой переменной. Из выражения (4-304) находим матрицу

S = [В АВ] =

1 О 1 1

которая является невырожденной. Тогда Mj = [0 l}S- = [-l 1]

Для системы в канонической форме имеем у(к +1) = Ау(к) + Ви(к)

-1 1

-1 2

Aj = МАМ =

О -1

Bj = МВ =

Характеристическое уравнение преобразованной замкнутой системы IM-Aj -bBjGj = 0

есть матрица обратной связи. Раскрывая уравнение (4-345), получаем X + (g-2)X-b(gJ-H) = 0

(4-339)

(4-340) (4-341)

(4-342) (4-343)

(4-344)

(4-345) (4-346)

(4-347)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147