Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

0 ..

. 0

0 ..

. 0

0 ..

(пХ п)

0 ..

. 1

-п

(4-295)

(пХ 1)

(4-296)

Собственные значения системы могут быть произвольно заданы с помощью обратной связи по состоянию

u(t) = -Gx(t)

G= [gj g2 ... g ]

(4-297) (4-298)

gi,g2, En - действительныеконстанты.

Структурная схема, изображающая обратную связь по состоянию, показана на рис. 4.4.

Доказательство. Подставляя уравнение (4-297) для входного сигнала u{t) в (4-294), получаем уравнения состояния замкнутой системы

х(к -I- 1) = (А - BG)x(k) (4.299)

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет ввд

lXI-A-bBGl= 0 (4-300)

Подстановка выражений (4-295), (4-296) и (4-298) в уравнение (4-300) даег

О О О ... О

о о ... О

-1 о ... о

............................................... о

о о о о о ... -1

gl 32 + gg

(4-301)

Рис. 4.4. Линейная цифровая система с обратной связью по состоянию



Это характеристическое уравнение приводится к виду

X + (a + g )X -i + (a .i + g i)V ... + + g2)X+ (а + gi)= О

+ ...

(4-302)

Поскольку каждый коэффициент усиления обратной связи входит только в один коэффициент последнего уравнения, очевидно, что, если собственные значения характеристического уравнения замкнутой системы выбрать произвольно, т.е. произвольно задать коэффициенты уравнения (4-302), мы получим п линейно независимых уравнений для определения коэффициентов усиления обратных связей ?i, . . ?и

Если система не представлена в канонической форме фазовой переменной, то существует преобразование подобия, которое преобразует матрицы А и В в соответствующую форму (4-295) и (4-296). Следующая теорема доказывает это положение.

Теорема 4.2. Пусть уравнения состояния линейной цифровой системы представлены в виде

х(к -Ь 1) = Ах(к) + Ви(к) (4-303)

где х(А:) - мерный вектор; и(к) - скалярная входная переменная; А-некоторая матрица коэффициентов размерности и X и; В - некоторая матрица размерности и X 1, тогда

S= [В АВ АВ ... А -В]

(п X п)

(4-304)

есть невырожденная матрица. Существует невырокденное преобразование у(к) = Мх(к) (4-305)

х(к) = М-(к) (4-306)

которое преобразует уравнение (4-303) к канонической форме фазовой переменной

y(k-f- 1)= Ау(к)-Н BjU(k)

(4-307)

0 ..

0 ..

. 0

1 ..

0 ..

-а -а -а.

(4-308)



1 =

(4-309)

(4-310)

(n X n)

Mj = [0 О ... 1][В АВ АВ ... A-BJ-l (4-311)

Доказательство. Предположим, что матрица М записана в виде

12 22

... mj

<

- п

М,= [т.,

П1;2 ...

= 1.2,

(п X п)

(4-312)

(4-313)

Приравнивая первые строки обеих частей выражения (4-305), получаем

yj(k)=MjX(k) (4-314)

Увеличение на единицу аргумента (времени или шага) последнего уравнения дает

у(к-(-1)= Mix(k+ 1) (4-315)

Подставляя уравнение состояния (4-303) в выражение (4-315) с учетом (4-308), имеем

у(к -1- 1) = MjAx(k) + MjBu(k) = у(к) (4-316)

Поскольку в соответствии с (4-305) у (к) является функцией только х(к), то в выражении (4-316) MiB = 0. Таким образом.

yi(k+ 1)=У2(к) = МАх(к)

(4-317)

Матрица М задается в виде Ml



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147