Находя теперь обратное z-преобразование от обеих частей последнего уравнения, получаем

38 9 -6 27 -18 -39

,-1.1к

(4-254)

Этот результат можно проверить, убедившись, что Ф(0) = I, где I - единичная матрица.

Вычисление переходной матрицы состояния Ф(Г). Ранее обсуждались вопросы вьиисления переходной матрицы состояния Ф(МТ) или Ф(М) соответственно для импульсных или цифровых систем управления. При рассмотрении импульсной системы отправной точкой является уравнение (4-220), в котором известны матрицы А и В. Чтобы найти матрицу Ф(МТ) с помощью выражения (4-223), необходимо вначале вычислить матрицу Ф(Г), которая определяется формулой (4-224).

Выше переходная матрица состояния Ф(0 матрицы А определялась выражениями (4-30) и (4-34). Формула (4-30) представляет собой описание в виде степенного ряда, в то время как (4-34) дает решение в виде преобразования Лапласа. Рассмотрим различные методы вычисления Ф(?) при заданной матрице А.

Метод преобразования Лапласа. Перепишем формулу (4-34)

*(t)=-l[(sl-А)-1] (4-255)

Матрицу si - А можно обращать по сути дела с помощью той же процедуры, которая описана выражениями (4-237) - (4-246). Результат можно записать в виде

(si-А)- =

-1 i<

sJ у a.A-J-l

(4-256)

Isl - Al

где n - размерность матрицы A, и

Isl - А! = ajs + as - + ... + as + a (4-257)

Метод разложения в бесконечный степенной ряд. Матрица Ф(Г) представляется в виде степенного ряда

(Т) = = I -ь АТ + ... (4.258)

Члены этого выражения могут вычисляться итерационно. Например, к-й член ряда равен А7*/А:!, а {к+ 1)-й равен А * 7* + 1) ! Поэтому можно записать

[(к + 1) -й член ] = X (Аг-й член), (4-259)

/с = о, 1,2,.... Обычно при вычислении суммы ряда делается проверка на сходимость, и итерации могут прекращаться после членов.

Метод разложения в ограниченный степенной ряд (теорема Кэли-Гамильтона). Степенной ряд для Ф(Г) может быть ограничен Л членами, где N - некоторое положительное целое. В этом случае

Ф(Т)фт £ (4-260)

Применяя к последнему выражению теорему Кэли-Гамильтона, можно записать

ф(Т) = X a-AJ (4.261)

]=0

где п - размерность матрицы А, а ау зависят от коэффициентов характеристического уравнения матррщы А и могут вычисляться итерационно. В общем случае N и п не связаны между собой, поэтому Л может быть больше, чем п.

Метод собственных значений (теорема разложения Сильвестра, матрица А имеет различные собственные значения). Для системе различными собственными значениями теорема разложения Сильвестра утверждает, что если

f(A)=c,Ak (4.262)

f(A) = 1 f(X)F(\) (4-263)

гдеХ,-,г= 1,2,.. .,п, - собственные значения (все различные) матрицы А; п А- \1

(\) = 1 -jrzi. i = l2,...,n (4.264)

Для задачи вычисления переходной матрицы состояния

f(A)=0(T)= Y.

к=-0 к!

Таким образом,

ЯХ;) = е* . (4-266)

и в соответствии с выражением (4-263)

ф{Т) = Y еГ(Х;) (4-267) i=l

где F(Xi) определяются выражением (4-264)..

Пример 4.9. Для иллюстрации метода воспользуемся той же матрицей А (4-229).

с обствашыс значшия матрицы А различны и равны-: \i = 5 к Л2 = 1 На осионанки формулы (4-266)

Выражение (4-264) дает А-ХЛ

A-Xjl

0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 -0.5 -0.5 0.5

?(2)=Xrt Поэтому

0(T) = f(Xj)F(Xj)-bf{X2)F(X2) =0.5

5Т.

(4-268) (-269)

(4-270) (4-271)

(4-272)

4. 14. ЦИФРОВЫЕ СОПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Как и для случая непрерывных систем управления, полезно рассмотреть сопряженные линейные цифровые системы. При проектировании оптимальных систем управления ка основе вариационного метода очень часто необходимые условия оптимальности приводят к уравнениям сопряженной системы.

Для линейной непрерывной системы

i(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) (4-273)

сопряженная система определяется уравнением

y(t) = -A(t)y(t) + B(t)u(t) которое следует из условия постоянства скалярного произведения векторов x(t) и y(t), т.е. х(Г)у(0 = const. Можно показать,что если Ф(Г, t) -переходная матрица состояния для А(/ ), то переходная матрица состояния для -А(Г) есть Ф(о. О

Определить цифровую сопряженную систему можно на основании этого соотношения. Дискретное уравнение состояния, как следует из (4-273) , имеет вэд [см. уравнение (4-75)]

x(kj) = (kj,ko)x(k(,)+ Е (4.274)

Уравнение состояния цифровой сопряженной системы определяется как

y(kj) = ф*(к,\)У(\) + Z 0*(kN.kj.i)B{k.Mk.)

i *(к,ко) = (ко,км)

(4-275)

(4-276)