Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

0(NT)= [0(T)]N=YaNi[0(T)] (4-228)

где Од - - коэффщиенты характеристшеского уравнения матрицы Ф(Т).

Пример 4.7. Для иллюстрации применения теоремы Кэли-Гамильтона предположим, что матрица А в уравнении (4-225) задана в виде

3 2 (4-229)

2 3

Характеристическое уравнение для матриць! А

\Х1-А\ = \-6Х + Ъ = 0 (4-230)

Применяя теорему Кэли-Гамильтона, получаем матричное уравнение

а2 - 6А 51 = О (4-231)

из которого имеем

а2 = 6А-51 (4-232)

Таким образом, матрицу А можно вырамть через матрицу А. Суть теоремы Кэли-Гамильтона состоит в том, что матрицу А можно выразить как алгебраическую сумму матриц А~. aJ~, . . ., А и в результате последовательного применения теоремы матрицу Ав конечном счете выразить через матрицу А. Поэтому

дЗ = А А = А(6А - 51) = бА - 5А = 6(6А - 51) - 5А = Я1А - 301 (4-233) Аналогично можно показать, что

А = 156А -1551 , (4-234)

Продолжая подобный итерационный процесс, можно вычислить матрицу А для сколь угодно большого N.

Метод, основанный на z-преобразовании. Для импульсной системы (4-222) переходная матрица состояния Ф(7) выражется в терминах z-преобразования в соответствии с (4-110):

[zI-0(T)]-iz

(4-235)

Для цифровой системы управления (4-225)

0(N) = 3f-l[(zI-A)-lz] (4-236)

В этих двух уравнениях вычисление переходной матрицы состояния включает обращение матрицы и затем нахождение обратного г-преобразования. Для системы второго порядка эти операции легко выполнить аналитически. Однако для систем более высокого порядка количество выполняемых вычислений может быть непомерно большим.

Задачу нахождения (zl - А)~ для заданной матрицы можно упростить с помощью описанного метода следующим образом.

Положим

(zI-A)-iz=F (4-237)

Тогда

zF = zl -Ь AF

(4-238



Умножая обе части последнего выражения слева на zl + А, после упрощения имеем

, = AF + zA+ z4 (4-239)

Снова умножая обе части последнего уравнения на z I + А, после упрощения получим

zF = AF.-b zA2 л- z2 a л- z4 (4-240)

Продолжая процедуру, запишем следующие упрощения:

zF = AF + zA + z2a2 + zA + zH (4-241)

zF = A F -b zA -l Л- z2An-2 ... -b z -iA -b z I

Таким образом, получим следующие выражения:

ajF= aF

agZF = agAF Л- azl

azF = agAF + azA + azH

azF = aAF -H a4zA2 -1- a4z2A + azH

(4-242)

(4-243)

a z-lF = a A -1f + a zA -2 + a zM- + ...+ az -A + az-4.

n n n n n n

z F = A F + zA -l + z2a -2 + ...+ z -1a + z I

где di, 02, . . .,an - коэффициенты характеристического уравнения матрицы А;

Z а jz= О (a j = 1) (4.244)

Просуммировав левые и правые части выражения (4-243), получим

i=0 i=0 i=l i=2 (4245)

+ + Ё aijA- lz - Ч- z I i=n-l гдед + 1 = 1.

В соответствии с теоремой Кэли-Гамильтона первый член в правой части последнего уравнения есть нулевая матрица. Поэтому из выражения (4-245) получаем

F = -- (4-246)



(4-247)

Izl- AI

Числитель последнего выражения есть не что иное, как матрица [Adj(zi - - A)]z.

После вычисления F по формуле (4-247), определяем матрицу

N) = [F] (4-248)

Для нахождения Ф(МТ) в соответствии с (4-235) просто заменяем матрицу А на Ф(Т) в выражении (4-247).

Пример 4.8. Предположим, что цифровая система управления, описываемая уравнением (4-225), имеет матрицу

(4-249)

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид

1М -А\ = \ + + их + 6 = (X - 1)(Х - 2)(Х - 3) = О (4-250)

Коэффициенты характеристического уравнения равны 04 - 1, сз = 6, сг = 11 и U1 = 6.

Используя выражение (4-247), запишем матрицу в виде 3

F = (zI-A)-lz = i=

Izl - А!

azI + (agl + a)z + (aI + аА + aA)z (4 251)

IzI-AI

1одставляя коэффициенты 04,03,02,0 и матрицу А в последнее выражение, имеем

1 о

6 1

-11 0

(z-l)(z-

-2)(z-

(4-252)

1редставление выражения (4-252) в виде суммы элементарных слагаемых дает

2(z -1)

2(z-3)

8 1

16 2

-28 4

(4-253)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147