Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

gAf ПОЧТИ так же просто, как к для диагональной матрицы. Скалярное уравнение состояния системы (4-206) полностью не связано с другими уравнениями. Поэтому решение для (к) имеет вид

Запишем третье уравнение состояния

(4-207)

Уз(к -i- 1) = ХУз(к) + у(к) (4.208)

Так какуа{к) уже задано формулой (4-207), уравнение (4-206) решается просто и дает результат

Уз(к) = Хуз(0) + кх14(0) (4-209)

По аналогии второе уравнение состояния

У2(к + 1) = ХУ2(к) -ь уд(к) (4.210)

Подставляя уз{к) из формулы (4-209) в уравнеаие (4-210) и решая его, имеем

У2(к) = Ху2(0) + кхк-Уз(О) + 2? хЬ-2у(0) (4.211)

Продолжая этот процесс, найд,ем решение для yj (к):

У1(к) = Xfy,(0) + кХ-1у2(0) + Мк 1)х-2уз(0) + к(к-1)(к-.2) -к-з

(4-212)

В матричной форме переходное уравнение состояния запишем в виде

у(к) = (к)у(О)

(к) = Xj

к(к-1),.й

к(к-1)(к-2) о 3! 1

к(к-1) 2 2! 1

(4-213)

(4-214)

В общем случае, если Xj имеет кратность т, переходная матрица состоя-: ния имеет форму

кХ-1

2! 1

к(К-1)...(к-п+2) .

(п-1)! h

к(к-1),-2 21 1

(4-215)



Определим теперь матрицу Р, которая преобразует матрицу А с кратными собственными значениями в каноническую форму Жордана. Матрицу Р, как и выше, вычисляем с использованием собственных векторов матрицы А (4-199). Собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А, находим обычным образом. Собственные векторы, соответствующие форме Жордана порядка т, находим с использованием клетки Жордана, имеющей вид

0 .

. 0

. 0

0 .

0 .

(4-21,6)

(т X т)

В этом случае с учетом Л = Р АР должно выполняться следующее соотношение:

[Pi Ра - Р ]Л = A[pj Р2 ... р]

которое раскрываем по столбцам в виде

Pi + P2 = Рг Рг + Рз = -Рз

(4-217)

(4-218)

Pm-l + Рш = Ар Преобразуя эти уравнения, получим:

(X.I-A)Pi==0 (X.I - А)Р2 = -Pi (X.I-А)рз = -Р2

(4-219)

(у-А)Р = -Рш-1 Из этих уравнений определяем обобщенные собственные векторы pi, Рг> . Рга-

4.13. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНОЙ МАТРИЦЫ СОСТОЯНИЯ

Выше были представлены переходная матрица состояния цифровой системы управления и ее частные случаи. Имеет смысл подчеркнуть отличие определений переходной матрицы состояния для двух различных условий.



ДляимпуЛьсной CHCTeivibi

i(t) = Ax(t) + Bu(t) (4-220)

u(t) = ц(кТ) кТ < t < (к -(- 1)Т (4-221)

переходная матрица состояния дискретной системы

х[(к -И)Т] = 0(Т)х(кТ) + е(Т)и(кТ) (4.222)

равна

Т) = еТ = (t) (4-224)

в последней формуле Ф(1) есть переходная матрица состояния для матрицы А. Выше бьшо подчеркнуто, что в обшем случае Ф(МТ) не совпадает с Ф(?) при замене t на NT. Поэтому в импульсных системах, описываемых уравнениями (4-220) и (4-221), для нахождения переходной матрицы состояния Ф(NT) необходимо найти Ф(0, заменить t на Тш затем воспользоваться выражением (4-223). Задача, по сушеству, состоит в нахождении переходной матрицы состояния Ф(?) для матрицы А. Для цифровой системы управления

переходная матрица состояния определяется как 0(N)= А = А-А-А-А... А

х(к +1)= Ах(к) + Ви(к) (4-225)

у . . (4-226)

Задача нахождения 0(/V) состоит только в умножении матрицы А саму на себя N раз.

Рассмотрим вначале два различных метода вычисления Ф(NT): при заданной матрице Ф(Т) для импульсной системы и при заданной матрице А для цифровой системы.

Метод, основанный на теореме Кэли-Гамильтона. При заданной матрице Ф(Т) или А выражение (4-223) или (4-226) можно вычислить с использованием теоремы Кэли-Гамильтона.

Теорема утверждает, что каждая квадратная матрица должна удовлетворять своему характеристическому уравнению, т.е. в обшем случае матрица А может быть записана в виде

А= уаА (4-227)

для любого положительного, целого числа Л, где п - размерность матрицы А; ар. коэффициенты характеристического уравнения для матрицы А. Аналогично, если задана матрица Ф(Г)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147