Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

вен 1. Это означает, что можно найти только один независимый собственный вектор с использованием матриил

Adj(XiI-A) =

2 2 -2 -2

Отсюда собственный вектор, соответствующий Xi = - 1, равен 1

Чтобы найти обобщенный собственный вектор, по определению запишем

Разрешая последнее уравнение относительно рг, получим О

(4-188)

А}Р2

Р2 =

-1 ±

(4-189)

(4-190)

Р2 =

Подводя итог, представим для сравнения в табличной форме (табл. 4.1) результаты анализа линейных систем в пространстве состояний, рассмотренные выше.

4.11. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ А

Решать уравнения состояния стационарных цифровых систем было бы весьма просто, если бы эти уравнения не были связаны друг с другом, т.е. если бы матрица А бьша диагональной. Например, если уравнения состояния вдфровои системы п-го порядка имеют ввд

Xj(k +1)= Х;Х;(к) + £ 7jU.(k) j=l

г = 1, 2, . . ., И, ТО ИХ решения при заданныхXj(0) и и/(к) для к>0 имеют простую форму:

Xj(k) = >к.{0) + Т 1 7jX -lu.(k - m) (4-191)

j-l m-0

Поэтому переходная матрица состояния Ф(к) является также диагональной матрицей с элементами Х, г = 1, 2, . . ., и, расположенными на главной диагонали.

В общем случае, если матрица А имеет различные собственные значения, ее можно пртести к диагональному ввду преобразованием подобия. PaccMOTpmi дискретное уравнение состояния

х(к -I- 1) = Ах(к) -I- Ви(к) (4-192)

гдех(Л) - и-мерный вектор; и(к) - г-мерный вектор; А miecT различные



собственные значения Xj, > Пусть Р - невырожденная матрица, преобразующая вектор состояния х(к) в вектор у (к), т.е.

х(к) = Ру(к) у(к) = р-1ж(к)

Требуемое уравнение состояния имеет ввд у(к + 1) = Лу(к) + Ги(к)

(4-193) (4-194)

Хз ... о

о ... х

(п X п)

(4-195)

(4-196)

Несвязанные уравнения состояния (4-195) известны как лганокмческоя форма. Чтобы найти матрицу Р, подставим выражение (4-193) в уравнение (4-142) и с учетом тождества (4-194) получим

Л = P-IAP (4-197)

Г = р-в

(пХ г)

(4-198)

Существуют несколько методов определения матррщы Р при заданных матрице А и ее собственных значениях. Тем не менее, покажем, что столбцы матрицы Р всегда совпадают с собствершыми векторами матрицы А. Обозначим через р- собственный вектор матрицы А, соответствующий X/. Тогда

Р= [Pl Р2 Рп5 (4-199)

Доказательство этого соотношения проводдт на основании определения собственного вектора (4-160), которое запишем в ввде

XjPj = Apj i = 1,2,...,n (4-200)

Образуем матрицу размерностью и X и

[XjPi Х2Р2 ... X pJ = [Api Ар2 ... Ар 1 = АР

Это выражение также запишем в виде

.(4-201)

(4-202)

[Pl Р2 РпЛ = РА = АР

откуда следует формула (4-197).

Можно показать, что если матрица А записана в канонической форме фазовой переменной, то матрица Р есть матрица Вавдермонда:

(4-203)

.n-1



4.12. КАКОИИЧЕСКАЯ ФОРМА ЖОРДАНА

Если матрица А ( за исключением симметрической матрицы) mvieex кратные собственные зкаченш, она не может быть приведена к диагональному виду. Однако это не означает, что систему невозможно преобразовать к форме, при которой решение уравнений состояния записывается непосредственно по их виду. Если матрица А не может быть приведена к диагональному виду, то тем не менее существует преобразовштае подобия А = Р АР, с помощью которого матрица А преобразуется к кагонической форме Жордана, т.е. почти к диагональной матрице. В качестве примера предположим, что матрица А имеет собственные значения Xi, Х., Хз, Хз> Хз, причем последние три одшаковы. Матрица канонической формы Жордана имеет вид

о !

0 1

(4-204)

В качестве другого примера для собственного значения кратности 4 матрица

(4-205)

Каноническая матрица Жордана в общем случае имеет следующие свойства:

диагональными элементами матрицы Л являются собственные значения матрицы А;

все эяементы,расположенные ниже главной диагонали, равны нулю;

некоторые элементы,находящиеся непосредственно над главной диагональю, равны единице;

в матрице А (4-204), разделенной на части пунктирными линиями, подматрицы, которые образованы каждым собственным значением, называются клетками Жордана. Матрица (4-205) целиком образует одну клетку Жордана.

Существует веская причина для использования канонической форьлы Жордана, даже если она не является диагональной матрицей. Рассмотргм матрицу Л (4-205) для уравнения состояния

У(к -t- 1) = Лу(к) (4X 1) (4-206)

.Можно систематизировать нахоадение переходной матрицы состояния



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147