Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

ветствующих данному собственному значению кратности mt, равняется дефекту dt матрщы Aji - А. Дефект dj матрицы \i - А определяется как

dj=n-r (4-176)

где п - размерность матрицы А, а Vj - ранг матрицы - А. Всегда существует di линейно независимых собственных векторов, соответствую-, щих Х/. Кроме того,

1 < d. < ш; (4-177)

Собственные векторы матрицы А с кратными собственными значениями определяются следующими методами.

Полная вырожденность (di = т{). Для собственного значения Х, miero-щего кратность mj, в случае полной вырожденности существует полная система из т, собственных векторов, соответствующих \. Эти собственные векторы определяются некулевыми столбцами матрицы

(ш;- 1)!

m.-l

- [Adj(XI-А)]

(4-178)

(4-179)

Пример 4.5. Рассмотрим матрицу

3 0 0 А= 2 4 1 2 14

Характеристическое уравнение матрицы А

1Х1-А1 = (Х-3)2(Х-5) = 0 (4.180)

Собственные значения матрицы А равны = = 3 и Хз = 5. Таким образом, собственное значение Xi = 3 имеет кратность 2, а Хз = 5 является простым. Чтобы определить дефект матрицы XI - А для Xj = 3, образуем матрицу

Xjl-A =

Х-3 -2 -2

Х-4 -1

-1 Х-4

х=3 L

(4-181)

которая имеет ранг, равный 1. Таким образом, дефект матрицы Xil - А

dj = n-rj = 3-1 = 2 . (4-182)

Так как Xi имеет кратность 2, говорят, что матрица Xjl -А полностью вырождена. Теперь, используя формулу (4-178), получаем

IAdj(XI-A)

2Х-8 2 2

. X=Xj

2Х-7 1

-3)(Х-5)

2(Х - 3)

-3)(Х-

2(Х-3)

(Х-3)(Х-4)

\=Xj

(4-183)

\=Xj



Следовательно, два независимых столбца последней матрицы выбираются в качестве собственных векторов:

<

Pl =

Дпя собственного значения Лз = 5 собственный вектор определяется обычным образом как решение рз уравнения (X3I - А)рз = О или с использованием произвольного ненулевого столбца матрицы АсУ(Хз1 - А). В результате имеем

Простая вырожденность {dj = 1). В случае когда дефект матрицы ХД ~ А равен шинще (простая вырожденность), существует только один собственный вектор, соответствующий Х независимо от кратности Х,. Собственный вектор, соответствующий Л,-, можно определить тем же методом, что и в случае простых собственных значений. Однако для собственного значения кратности rrii существуют т,; - 1 дополнительных векторов, называемых обобщенными собственными векторами. Эти т,- - 1 обобщенных собственных векторов р/2, Р/з) - - P ?7j , находим из следующих rrii - 1 уравнений:

(Х;1 - A)Pj2 =

-Pil

(Xjl - A)pj3 = -Pi2

(4-184)

(ХЛ-А)р.. = -Р; .

где pji - собственный вектор, соответствующий Xj, который определяется решением

(Х;1-А)Р;1 = 0

Пример 4.6. Рассмотрим матрицу

1 2 (4-185) -2 -3

Ее характеристическое уравнение имеет вид

IXI-Al = x2-f-2X-)-1 = 0 (4-186)

Собственные значения матрицы А равны Xi = Л2 = - 1- Таким образом, собственное значение Xi = - 1 имеет кратность 2.

Д1Я определения дефекта рассмотрим матрицу

Xjl-A =

Х,-1

-2 Xj + 3

-2 -2 2 2

(4-187)

которая имеет ранг, равный 1. Таким образом, дефект матрицы Xil - А также ра-



Таблица 4.1

Характеристика систем

Непрерывная система Цифровая система с фиксатором Цифровая система

Переменные состояния Уравнения состояния:

стационарные

нестационарные Переходная матрица состояния:

стационарная

Нестационарная

изображения матрицы

Импульсная пеходная матрица

Передаточная матрица

Переходные уравнения состояния:

стационарные

нестацион арные

Характеристическое уравнение

x(t) = Ax(t) + Bu(t) i(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

ф(1Лд) = ехр / A(T)dr Ч)

Ф(в) = (si - A)-> B(t) = Dt)B + E8(t)

G(s)= D(sl- A)-b+ E

x(t) = <Kt-t)x(tp)

+ / <Ht-T)Bu(T)dT

b(t) = (t,toWto)

+ / #(t,T)B(T)u(r)dr tn

Isl - Al = 0

x(kT)

x[(k + 1)T1 = #(T)x(kT) + в(Т)и(кТ)

xl(k + 1)T1 = ф[(к + 1)Т,кТ1х(кТ)

+ ei(k+ l)T,kTlu(kT)

(kT)= WT)]*

,(k+i)T

#l(k + l)T,kT] = exp f A(r)dT кТ

g(kT) = D#[(k - DTIB к > 1

= E k= 0

G(z)=DzI-#(T)]-B + E

x(NT) = #(NT)x(0)

+ X[(N-k-l)T]e(T)u(kT)

x(NT) = #(NT.O)x(0) + fNTN-km

e((N-k)T,(N-k-l)Tlii[(N-k-l)T] Izl-(KT)I= 0

x(k)

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

*(k) = A

(KN,k) = A(N - 1)A(N - 2)... A{k+ l)A(k)

Ф(г)= (г1- A) z

g(k)=D*(k- 1)B = E

k> 1 k= 0

G{z)= D(zl - A)->B+ E

x(N) = а х(0) + Y A--Bu(k)

li=0

x(N)= (N,0)x(0)

I- Vw.k + l)B(k)u(k) k-0

Izl - Al = 0



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [ 43 ] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147