Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Рассмотрим дискретное уравнение состояния

х[(к + 1)Т] = 0(Т)х(кТ) + е(Т)и(кТ) (4-103)

Возьмем z-преобразование от обеих частей этого уравнения:

zX(z) - zx(0) = 0(T)X(z) -(- e(T)U(z) (4-104)

где по определению

X(z) = Z x(kT)z-k (4405)

то же самое относится и к U(z). Определяя X(z) из (4-104), получим

X(z) = [zl- 0(T)]-lzx(O) + [zl- T)]-ie(T)U(z) (4-106)

Обратное z-преобразование последнего выражения дает

х(кТ) =-1 [[zl - <KT)]-Ч]х(0) -(- f- [[zl - <ЯТ)] -ie(T)U(z)]<4-107)

Покажем, что обратное z-преобразование от [zl - ЩГ)]~ есть дискретная переходная матрица состояния Ф(кГ).

z-преобразование Ф(/(г7) определяется известным способом:

Ф(г)= f (kT)z- (4.108)

к=0

Умножая обе части последнего уравнения слева на Ф{Т)2~ и вычитая результат из (4-108), получаем

[1-0(Т)г-1]Ф(г)= I

Отсюда

Ф(2) = [I - 0(T)z-i ] -1 = [zl - ф(Т)] -1Z 4-109)

Вьиисляя обратное z-преобразование от обеих частей последнего уравнения, получаем

0(kT) = -l[[zI-0(T)]-lz] (4-110)

Таким образом, выражение (4-110) представляет собой метод определения переходной матрицы состояния дискретного уравнения состояния, основанный на г-преобразование.

Последний член в выражении (4-107) вычисляем с помощью теоремы свертки (3-113) и выражения (4-110). Можно показать, что

[zi-0(T)]-ie(T)U(z)

= У 0[(к-i-i)T]e(T)u(iT) (4-111)

В целом переходное уравнение состояния

х(кТ) = 0(кТ)х(О) + 0[(к - i - l)T]e(T)u(iT) (4412)

имеет ту же самую форму, что и (4-91). С помощью описанного метода



Рис. 4.3. Разомкнутая цифровая система

G,(s)

c(t)

z-преобразования по аналогии могут бьпъ решены и уравнения состояния в форме (4-87) и (4-89).

Пример 4.1. На этом примере проиллюстрируем анализ разомкнутой цифровой системы с помощью описанного выше метода переменных состояния. Структурная схема рассматриваемой системы представлена на рис. 4.3. Уравнения динамики, описывающие линейный объект имеют вид

dx(t) dt

XjCt) X2(t)

u(t)

(4-113)

c(t) = Xj(t) (4-114)

гдех1(0 к X2(t) - переменные состояния; c(f) и u(0 - скалярные выходная и входная переменные, соответственно. Кроме того,-поскольку u(t) - выходной сигнал экстраполятора нулевого порядка, то

u{t) = и(кТ) = г(кТ)

РЛякТ<1<(к+ 1)7 .

Сравнивая (4-113) со стандартной формой уравнения состояния (4-10),имеем

О 1

-2 -3

Образуем матрицу s -1

(si-А) = Отсюда

(sI-A)-l =

2 s-t-3 1

(s -t- 3s -I- 2)

s-t-3 -2

(4-115)

(4-116)

(4-117)

(4-118)

Переходная матрица состояния для матрицы А определяется с использованием обратного преобразования Лапласа от (si - A)-i. Поэтому с учетом (4-34)

*(t) =4(sI-A)-ll =

e-t-e-2t

2e-t e-2t ~2e-t 4-28-2* e-4 2e-2t

Подстановка (4-116) и (4-119) в формулу (4-86) дает

Р в(Т)= 0(T-T)BdT = О

(4-119)

еЧТ-г) р-2(Т-г)

dT =

2 * 2*

(4-120)



Подставляя теперь выражение (4-119) для 1=Ти (4-120) в формулу (4-83), запишем дискретное уравнение состояния системы

Xi[(k+1)T] Х2[(к + 1)Т]

2е-Т-е-2Т

-2eT-t-2e2T е-Т+2е-2Т

Xj(kT) XgCkT)

i p-T , 1 -2Т g-T g-2T

u(kT)

Положим период квантования в системе (4-121) равным I с; 0.6 0.233 -0.466 -0.097

х,(к + 11

Х2(к -(-1)

К(к)

0.2

Х2(к)

0.233

и(к)

(4-121)

(4-122)

Уравнение (4-121) может отождествляться с каноническими уравнениями (4-83) или (4-89). Поэтому с использованием формулы (4-91) решение уравнения (4-121) запишем в виде

Xj(N)

X2(N)

2e-N-e-2N

e-N-e-2N

-29- -1- 28- -e- -1- 2e

0.633e-<N-k-l)-o.433e-2(N--l) .-0.вЗЗе-(--1> + 0.8eee-2(N-k-l) где N - любое положительное целое.

xi(0) Х2(0)

U(k)

(4-123)

4.9. СВЯЗЬ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ С ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

Представляет интерес исследовать взаимосвязь метода переменных состояния и метода, основанного на понятии передаточной функции.

Предположим, что цифровая многомерная система описана с помощью z-преобразования соотнощением

C(z) = G(zp(z),

(4-124)

C(z) =

qcz)

C2(Z)

(4-125)

есть 2-преобразование (Х 1)-мерного вектора выхода;



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147