Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

а переходное уравнение состояния в виде

x(ki) = 0(к,ко)(1о) + I 0(kj,kj)B(kj)u{kj) (4-75)

A(kj j)A(kj 2)... A(kj )А(ко) kj > к (4.76)

0<к,ко) = -

В этом случае интервалы между kj и , не обязательно постоянны и kj может обозначать дискретное время или шаг.

Матрица Mkj, о) размерностью иХи называется переходной матрицей состояния для матрицы Mkj) и удовлетворяет однородному уравнению состояния

x(kji)= А(крх(кз) (4-77)

для/ > 0. Таким образом, справедливо следующее соотношение:

<l>{li-i ,\)= М.к)Ф(к,\) ц>\ (4-78)

Свойства переходной матрицы состояния Ф(А:/, А:о)- Подобно непрерывным системам переходкая матрица состояния {kj, ко) имеет следую-шие свойства, важные для анализа цифровых систем.

1. Ф(/, /) Ф{], т) = Ф(1, т) для всех шагов г, /, т, (4-79)

если матрица А ) невырождена для всех к, лежащих между min(/, /, т) и тах(г, /, т). Если матрица А(А:) вырождена для к>р,то равенство (4-79) справедливо только для шах (г, j,m)<p.

Этапы доказательства этого свойства очень похожи на процедуру, описываемую выражениями (4-20) - (4-23). Чтобы переходный процесс состояния мог развиваться в обоих направлениях, необходимо существование матрицы А * (/:), поскольку г, jam- произвольные числа. Если А(А:) - вырожденная матрица для к>р, можно записать

0(i,j)0(j,m) = A(i - l)A(i - 2) ... A(j)A(j - l)A(j (4.8O)

-2)...A(m) = 0(i,m) для p > i > j > m.

2. 0(k,k)=I (4-81)

Это свойство следуег непосредственно из определения (4-73) матрицы Ф(А:,М).

3. Ф(/, /) = Ф О, О для всех /, /, (4-82)

если А{к) - невырожденная матрица для к = j-l,j-2,...ii j>i к= i-2,...,j i>j

Доказательство этого свойства предлагается читателю выполнить в качестве упражнения.



4j6. переходные уравнения

состояния цифровых стационарных систем

Если линейная цифровая система стационарна, ее уравнения динамики можно записать в нескольких видах:

х[(к + 1)Т] = (НТ)х(кТ) + в(Т)и(кТ) (4-83)

с(кТ) = Dx(kT) -(- Eu(kT) (4-84)

где Ф(7) - переходная матрица состояния;

0(Т)=еАТ=1+ АТ++... . (4-85)

в(Т) = АКТ - T)B(T)dT (4.86)

х(к + 1) = 0(1)х(к) -(- е(1)и(к) (4-87)

с(к) = Dx(k) + Eu(k) (4-88)

х(к -(- 1) = Ах(к) + Ви(к) (4-89)

с(к) = Dx(k) -(- Eu(k) (4-90)

Как было показано выше, матрицы Ф(7} и Ф(1) всегда невырождены, если элементы А конечны. Однако в общем случае не существует ограничений на матрицы коэффициентов чисто цифрового уравнения состояния (4-89), так что А может быть вырожденной матрицей.

Как и для нестационарных систем, стационарное уравнение состояния можно решить с помощью итерационной процедуры. Для уравнения (4-83) решение имеет вид

x(NT) = 0(NT)x(O) + Z <*t(N - к - l)T]e(T)u(kT) (4-91)

0(NT)=0(T)<J(T)...0(T) = Ат)

(4-92) N

Следует заметить, что ЩЫТ) - зто только обозначение, используемое для упрощения записи в выражении (4-92). В общем случае Ф{ЫТ) не равно Ф(Т), где Т заменено на ЛТ , хотя в простейших случаях равенство может оказаться справедливым.

Для уравнения (4-89) переходное уравнение состояния имеет вид N-1

x(N)= Ах(0)-(- Z А --Ви(к) (4-93)



Эти переходные уравнения состояния можно записать также со сдвигом для нулевого начального времени или шага, т.е.

x[(N + М)Т] = 0(NT)x(MT) + У ф[{N - к - (4-94)

- i)T]e(T)u[(M-t-к)Т]

x(N + М)= ах(М) -(- f А-к-1ви(М -I- к) (4-95)

4.7. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ

Дискретные уравнения состояния можно получить также в результате приближенного описания аналоговой системы цифровой моделью. Рассмотрим следующие уравнения динамики аналоговой системы:

x(t) = A(t)x(t) -(- B(t)u(t) (4-96)

c(t) = D(t)x(t) -t- E(t)u(t) (4-97)

Перейдем к цифровой аппроксимации системы в моменты t = t/. Положим

tk.i = tk + Д к (4-98)

Производную от х(?) в момент t = tj можно приблизительно вьиислить с помощью следующего соотношения:

(к) - [(кп) - (*к (4-99)

Тогда уравнение (4-96) аппроксимируется выражением

[x(t ,) - x(t,)] = A(t,)x(t,) + B(t,)u(t,) (4.100)

По аналогии уравнение (4-97) принимает вид

c(t) = D(t)x(t) + E(t)u(tb) (4.101)

Уравнение (4-100) окончательно запишем й форме дискретного уравнения состояния

x(t) = [I + AtA(t)]x(tb) + AtbB(t)u(t) (4.102)

4.8. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Метод z-преобразования можно применять для решения линейных дискретных стационарных уравнений состояния. Кроме того, ниже рассмотрен еще один метод определения дискретной переходной матрицы состояния.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147