Эти уравнения можно записать в более простой форме для нормализованного периода квантования Т = I. В этом случае уравнения динамики принимают вид

х(к -I- 1) = -I- 1,к)х(к) + е(к + 1,к)и(к) (4-52)

е(к + 1,к) = 0(к -I- i,T)B(T)dT (4.53)

с(к) = D(k)x(k) -I- E(k)u(k) (4-54)

Еще один способ записи уравнений динамики (4-49) и (4-51) состоит в замене t= tj+i и ?о = fc:

) = *к-И *к + е( Vl .4 ) (tk) (4.55)

e(tkH.ltk)=j 0(W,r)B(r)dr

c(tk) = D(ti)x(t) -b E(t)u(t) (4-57)

4.4. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЦИФТОВЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ТОЛЬКО ЦИФРОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Если цифровая система состоит полностью из цифровых элементов, а на ее входе и выходе присутствуют только цифровые сигналы, эта система может быть описана следующими дискретными уравнениями динамики:

, х(к + 1) = А(к)х(к) + В(к)и(к) (4-58)

с(к) = D(k)x(k) -I- E(k)u(k) (4-59)

где A(k), B(k), D(k) и E(A:) - матрицы коэффициентов с нестационарными элементами. Значения этих элементов могут изменяться только в дискретные моменты А: = О, 1, 2,. .. .На практике уравнения динамики (4-52) и (4-59) могут описывать дискретную систему, в которой к обозначает шаги или последовательность событий . Поэтому дискретное время не всегда должно быть независимой переменной в уравнениях динамики.

4.5. ПЕРЕХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЦИФТОВЫХ СИСТЕМ

Нестационарные системы. Поскольку дискретные уравнения состояния (4-49), (4-52), (4-55) и (4-58), по существу, имеют одинаковую форму, очевидно, что их решения также должны быть подобны. Однако прежде чем приступить к решению дискретных уравнений состояния, следует подчеркнуть сходство и различие между непрерывными и дискретными уравнениями состояния. Заметим, что решение непрерывного уравнения состояния (4-38), описываемое выражением (4-45), справедливо для лю-

бых t и to, если Ф(?, to) - невырожденная матрица. Другими словами, решение справедливо как для t> to, так и для t<to. Это означает, что изменение состояния непрерывного процесса может происходить и в прямом, и в обратном времени. Можно показать, что дискретные уравнения состояния (4-49), (4-52) и (4-55) также двунаправлены по А:, если Ф(А: + 1,к) - невырожденная матрица. Исходно эти уравнения состояния определены в прямом времени, поскольку они получены путем замены to = кТ и t = = (к+ 1)Т в переходных уравнениях состояния непрерывной системы.

Существуют, по крайней мере, два способа перехода к обратному времени в дискретных уравнениях состояния. Если переходная матрица состояния Ф(к + 1, к) невырождена, то, применяя обозначения, используемые в (4-52), можно записать уравнение состояния в виде

х(к) = ф-1(к -I- 1,к)х(к -I- 1) - ф-{к + 1,к)е(к -I- 1,к)и(к) (4-60) Используя свойства матрицы Ф(А:+ 1,к) из (4-19) и (4-26), получаем

х(к) = 0(к,к + 1)х(к + 1) + е(к,к + l)u(k) (4.gl)

е(к,к -I- 1) = / ф{к,т)В{т)дт (4-62)

к+1

Выражение (4-61) можно рассматривать как уравнение, описывающее изменение состояния на интервале от к + I рр к, где ц(А:) - вектор входа с постоянными элементами в течение этого интервала.

Другой способ состоит в замене 1о=к+1и1 = кв выражении (4-45) при и(т) = и{к), что приводит к тому же результату (4-61). Чтобы изменение состояния бьшо двунаправлено по к, в общем случае матрица Ф(к + 1, к) должна быть невырожденной.

Интересно заметить, что, поскольку уравнения состояния (4-49), (4-52) и (4-55) получены в результате применения операции квантования и фиксации к переходному уравнению состояния непрерывной системы, переходная матрица состояния Ф(к + I, к) всегда невырождена, если матрица А(?) в исходном дифференциальном уравнении непрерывна и конечна.

Дискретные уравнения состояния (4-58) приводят к другой проблеме, поскольку в принципе не существует физических ограничений на элементы матриц А(к) и В(к), Поэтому, пока матрица А{к) не буйет невырожденной для всех к, уравнение состояния (4-58) можно решать только й прямом времени. Если матрица А{к) невырождена для к </, то

X(к) = А (к) X(А; + 1) - А (к) В {к)и (к) (463)

для А: = О, 1,2,..

Покажем теперь, что дискретное уравнение состояния может быть решено с помощью итерационной процедуры. Рассмотрим уравнение состояния в форме (4-58) вследствие более простых обозначений, но учтем, что искомое решение полностью удовлетворяет любой форме дискретных уравнений состояния, если заменить матрицы А(к) на Ф(к + 1, к),В{к) на Щк + 1, А:) и т.д. Перепишем общее выражение (4-58):

х(к + 1) = А(к)х(к) + B(k)u(k) (4-64) Для последовательных итераций получим:

к=0 х(1) = А(0)х(0) + В(0)и(0) (4-65) к = 1 х(2) = А(1)х(1) -(- В(1)и(1) =

= А(1)А(0)х(0) + А(1)В(0)и(0) -(- В(1)и(1) (4-66)

к = N - 1 x(N) = A(N - l)x(N - 1) + B(N - l)u(N - 1) = = A(N - 1)A(N - 2)... A(l)A(0)x(0) -(- -(- A(N- 1)A(N- 2)... A(l)B(0)u(0)-t-

+ A(N - 1)A(N - 2)... A(2)B(l)u(l)+ -(-...-(-A(N - 1)B(N - 2).u(N - 2)-(-B(N --l)u(N-l) (4-67)

Положим

0(N,i + 1) = A(N - 1)A(N - 2)... A(i + 1) g

дляг = - 1,0, 1,2,.. .,N-2,N>i+ 1 и

0(N,i+l)=I (4.69)

для N = i + 1. С использованием этих обозначений выражение (4-67) можно записать в виде

. N-1

x(N) = 0(N,O)x(O) -(- Z (N,! + l)B(i)u(i) (4-70)

что и является искомым решением уравнения (4-64) для всех x(N),N> О, данного начального состояния х (0) и входа и(г), / = 0,1,.. .,Л - 1.

Аргумент в выражении (4-70) можно сдвинуть вперед на любое положительное целое Af, т.е.

N+M-1

x(N +М) = 0(N + М,М)х(М) -I- Z 0(N -I- M,i + l)B(i)u(i) (4-71)

Теперь, полагая k = N+ М, получим

х(к) = 0(к,М)х(М) -(- -(- l)B(i)u(i) (4-72)

/ А(к - 1)А(к - 2)... А(М) к > М -(- 1 (4-73)

(1 к= М

В общем случае можно записать уравнение состояния в виде

х(к.,) = A(kj)x(kj) + B(k.)u(k.)

j= 0,1,2,...,N-1