Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

4. Если Ф(Г2. 1) - невырожденная матрица, то

Ф(1, 2 ) = Ф(2, ?1) для любых ?1 и ?2 (4-26)

Полагая ?i = ?з в выражении (4-19) и используя свойство (4-24), получаем

0(ti,t2Mt2.ti)=I (4-27)

Таким образом, умножая обе части последнего выражения справа на

Ф (?2, 1). получим (4-26).

Переходная матрица состояния (стационарный случай). Для линейных стационарных систем однородное уравнение состояния запишем в виде

= Ax(t) (4-28)

В этом случае из (4-15) следует, что переходная матрица состояния определяется как

1 о ,9 A(t-tn)

0(t-to)=I+A(t-to)-H2jA2(t-to)2-b... =е О (4-29) Для ?о = О

т-=1 (4-30)

с учетом стационарности рассматриваемой системы возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (4-28):

sX(s)-x(0)= AX(s)

где х(0*) - начальный вектор состояния, определяемый при t = О*. Решение уравнения (4-31) дает

X(s)= (si-А)-1х(0) (4-32)

Вычисляя обратное преобразование Лапласа от обеих частей последнего выражения, получим

x(t) =-4(sI- А)-1]х(0) (4.33)

, Таким образом, переходная матрица состояния определяется также равенством

0(t)=-4(sl-АГ] (4.34)

Свойства переходной матрицы состояния (стационарный случай). Все свойства переходной матрицы состояния стационарной системы могут быть получены как частные случаи для нестационарных систем. Они формулируются в следующем виде

1.Ф(?1 - ?2Ж2 - з) = Ф(1 - ?з) для любых ?1,?2,?з- (4-35) 2.Ф(0) = 1. (4-36)

З.Ф(?) - невырожденная матрица для конечномерной матрицы А.

: 4. -l(t) = 0(-t) . (4.37)



Решение неоднородного уравнения состояния. Заметим, что если неоднородное нестационарное уравнение состояния

= A(t)x(t) + B(t)u(t) (4-38)

преобразовать сначала к виду

Мр. = Щ) . (4-39)

то его решение не будет представлять затруднений. Положим

x(t)= <Mt,to)y(t) 40)

где Ф{1, to) - переходная матрица состояния. Тогрэ

Приравнивая уравнения (4-28) и (4-41) с учетом равенств (4-13) и (40), получаем

(t,to) = B(t)u(t) (4-42)

Таким образом,

= 0(to,t)B(t)u(t) (4-43)

Решение уравнения (4-43) находим интегрированием обеих частей:

y(t) = y(to) + J ф(1о,т)В(т)и(т)с1т (4-44)

Теперь с использованием выражения (4-40) решение уравнения (4-38) будет иметь ввд

x(t) = Ht, to )x(to) -I- f ф{1, T)B(r)u(r)d7- (445)

для любых tUto.

Для стационарных систем решение уравнения (4-10) с очевидностью следует из выражения (445):

. x(t) = 0(t - )x(to )+C ф(1- r)B(T)u(7)dr (446)

для любых tVLto.

Найденные уравнения состояния называют также переходными уравнениями состояния.



4.3. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЦИФТОВЫХ СИСТЕМ С КВАНТОВАНИЕМ И ФИКСАЦИЕЙ

Если на входе системы, изображенной на рис. 4.1, добавить устройства выборки и хранения, получим разомкнутую дискретную систему, представленную на рис. 4.2.

Поскольку ,(?), / = 1, 2, . . ., р, являются выходными сигналами устройств выборки и хранения, они описываются равенствами

Uj(t) = и;(кТ) = е;(кТ) кТ < t < (к + 1)Т (4-47)

где А: = 0,1,2,/=1,2,р.

Предположим, что динамика линейной системы характеризуется нестационарными уравнениями состояния (4-8). Переходное уравнение состояния имеет вид (4-45) для всех ? и ?о Посколыу входы системы постоянны на интервале квантования Т, в формуле (4-45) входной вектор и(т) может быть вынесен за знак интеграла. Тогда

x(t) = 0(t.to)x(to) -f 0(t,r)B(r)dru(kT) (4-48)

причем подразумевается,что = кТикТ< t< {к + 1)Т.

Выражение (4-48) описывает состояния в течение интервала квантования кТ<: t <:{к + 1)Т. После дальнейшего преобразования его можно использовать и для описания изменения состояний цифровой системы непосредственно с момента квантования. Полагая в (4-48) to = кТ и t = = (к+ 1)Т, получим

х[(к -I- 1)Т] = ф[(к + 1)Т,кТ]х(кТ) -I- е[(к -I- 1)Т,кТ]и(кТ) (4-49)

тякТ<1<(к+ 1)Т,где

> /.(k+iyr

е[(к-И)Т,кТ] =/ 0[(к+ l)T,r]B(r)dT (4-50)

Следует заметить, что, хотя ui{kT) является постоянной величиной только на интервале от кТ цо {к+ 1)Т , решение (4-48) справедливо для всего интервала квантования, включая t = (к + 1)Т, поскольку x{t) есть непрерывная функция времени t.

Выражение (4-49) представляет собой дискретное уравнение состояния цифровой системы, изображенной на рис. 4.2. Однако, оно описывает динамику состояния только в моменты квантования. Другими словами, при замене =kTHt={k+ [)Тв формуле (4-48) теряется вся информация о поведении системы между моментами квантования.

По аналогии дискретизация уравнения выхода (4-9) осуществляется заменой t = кТ:

; с(кТ) = D(kT)x(kT)-I-Е(кТ)и(кТ) (4-51)

Соотношенрш (4-49) и (4-51) в сово-купности образуют уравнения дина- -fi-3rJ0\-

МИКИ цифровой системы.. 1Ё1>ЁЙЩЩё}:

Рис. 4.2. Многомерная цифровая система £Ш:>£ЁЦЩ. с квантованием и фиксацией Г

Upft)

Линейная система



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147