Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

4.2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

И ПЕРЕХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

Пусть непрерывная система с р входами и q выходами, изображенная на рис. 4.1, описывается следующей системой дифференщ1альных уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния:

dx=(t)

= fi[Xi(t),x2(t),...,xJt),u,(t),u2(t),...,Up(t),t] (i=l,2,...,n) (4-0

где X, (г) , Х2 (О > > - переменные состояния; щ {t), U2 {t),

Up (?) - входные переменные, fi - z-e функциональное соотношение, которое в общем случае может быть линейным или нелинейным.

Выходные переменные системы связаны с переменными состояния и входными переменными через уравнения выхода, которые имеют вид

C(t)= g[x,-(t),x2(t),...,X (t),Uj(t),u2(t),...,Up(t),t]

(к= l,2,...,q) (4-2)

Здесь;;. HMeef тот же смысл,что и/} в выражении (4-1) .

Совокупность уравнений состояния и уравнений вьгхода называется уравнениями динамики системы.

Обычно уравнения динамики записывают в следующей векторно-мат-ричной форме: dx(t)

уравнение состояния -= f[x(t),u(t),t] (4-3)

уравнение выхода c(t) = g[x(t),u(t),t]

где вектор состояния (матрица-столбец размерностью и X 1)

x(t) =

x2(t)

x (t)

(4-4)

(4-5)

вектор входа (матрица-столбец размерностью р X 1)

u(t) =

Uj(t)

Up(t)

u,a).

арШ-

(4-6)

Линейная система

Рис. 4.1. Линейная система с р входами,

- (t) q выходами и п переменными состояния



вектор выхода (матрица-столбец размерностью X 1)

c(t) =

c,(t)

c(t)

(4-7)

Если система линейна, но содержит нестационарные элементы, уравнения динамики (4-3) и (4-4) записываются в виде

= A(t)x(t) + B(t)u(t)

(4-8)

c(t) = D(t)x(t) + E(t)u(t) (4-9)

где A (/) - квадратная матрица размерностью и X м; В (?), D (?) и Е (?) - матрицы размерностью пХр, Хн и q-p соответственно. Все элементы этих матриц-коэффипдентов предполагаются непрерывными функциями времени t.

Если система линейна и стационарна, уравнения (4-8) и (4-9) принимают вид

dx(t) dt

= Ax(t) -I- Bu(t)

(4-10) (4-11)

c(t) = Dx(t) -I- Eu(t)

В этом случае элементы матриц А, В, D и Е - константы.

Переходная матрица состояния для нестационарных систем. По определению переходная матрица состояния Ф(?, ?о) - это матрица размерности п X и, удовлетворяющая однородному уравнению состояния

(4-12)

= A(t)x(t) dt

для всех действительных to,т. е. d0(t,tn)

-A(t)0(t,to) (4-13)

с начальным условием Ф(?о,?о) ~ где I - единичная матрица размерностью и X и.

Тогда решение однородного уравнения состояния (4-12) имеет вид x(t)=0(t,to)x(to)

для любых t и tg,ЧТО МОЖНО доказзть, продифференцировав во времени обе части выражения (4-14) с использованием (4-13) .

Для нестационарного уравнения состояния (4-12) переходная матрица состояния определяется как

0(t,t) = ехрГГ* А(т)ат1 = l + t А(+ Г А(г)агГ A(X)dX + ...

(4-15)



если матрицы А (г) и J А(т)с1т коммутативны, т.е. to

А(1)Г A(r)dT=r A(r)drA(t) (4.16)

Для доказательства продифференцируем по времени обе части выражения (4-15)

7 A(r)d + A{r)drf A(X)dX-l- ...

iT-t-

iTA(t) + ...

I -f- f A(T)dT to

= A(t) + ~ A{t)f A(r)dr

(4-17)

Ilpaii;iH часть выражения (4-13) имеет вид

A(t)0(t,to) = A(t) + Ait)f A(T)dT + ... (4-18)

to

Сравнение (4-18) и (4-17) показывает, что эти два выражения равны только в том случае, если A{t) удовлетворяет условию (4-16).

Свойства переходной матрицы состояния (нестационарный случай). Рассмотрим некоторые важные свойства переходной матрицы состояния.

1.Ф(?1, t2)Ф(?2, ?з) = Ф(1, 3) для любых ti,t2,h (4-19)

Это свойство вытекает из следующих равенств

x(tj)=0(t t2)x(t2)

х(Ц)=<М1 1з)х(1з) Подстановка (4-21) в (4-20) дает x(tj)= 0(tj,t2)0(t2,t3)x(t3)

Сравнение выражений (4-22) и (4-23) доказывает утверждение (4-19).

2. Ф(?о, 0 ) = I (единичная матрица). (4-24)

Это свойство следует непосредственно из (4-15).

3. Ф(?, to) - невырожденная матрица, т.е. определитель Ф(?, ?о)1не равен нулю. Это следует из теоремы Абеля-Якоби-Лиувилля [12], которая утверждает, что

<(t,to)l = ехрГГ trA(T)dr yt -I

(4-20) (4-21)

(4-22) (4-23)

(4-25)

где 1гА(т) - след матрицы А(т), равный сумме элементов главной диаго-

нали А(т). Очевидно, что, поскольку / ггА(т)йт не может быть равным

- °° для любых tiito, определитель Ф(?, ?о ) I не равен нулю.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147