Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Теперь интеграл вдоль полуокружности бесконечного радиуса в левой половине 1-плоскости равен нулю. Следовательно, контурный интеграл в формуле (3-193) равен интегралу вдоль прямой линии в выражении (3-190).

Применяя теорему о вычетах из теории функций комплексной переменной, запишем выражение (3-193) как

C{z, т) = SResC(J) - в полюсах С(). (3-194)

1 -ez

Выражение (3-194) дает одно из определений модифицированного z-преобразования для сигнала с (г). Проведенный анализ обосновывает также замену фактора запаздывания Д на параметр т.

Вычисляя интеграл по контуру, включающему бесконечную полуокружность в правой половине -плоскости, для интеграла (3-190) вдоль линии получим

1 1 ,..-ЛТ, -1 Н

(3-195)

В ЭТ01Ц, случае интеграл вдоль бесконечной полуокружности равен нулю, если lim C(s) = 0. Применяя теорему о вьиетах к последнему

выражению, получим

C(z, Д) = - XResC()e-* -

z = e

в полюсах 1/[ 1 -- )]. (3-196)

Так как полюсы функции 1/[1-е~(* ] имеют вид 5 = s ± jnco, п- о, 1,... и являются простыми, то выражение (3-196) дает в результате

С(2,Д) =7f. Z C(s -I- jnw )е

(3-197)

Хотя в этом случае нет необходимости вводить параметр т= 1 - Д, тем не менее для унификации определения модифицированного z-преобразования запишем выражение (3-197) как

C(z,m) = Z 0(5-1-jnw)e

-<l-m)T(s+jnWg)

(3-198)

Еще одно выражение для модифицированного z-преобразования с (?) получаем путем применения z-преобразования непосредственно к выражению (3-187) .В результате

C(z,m) = 3[c*(t-AT)] = 5c(kT-bmT-T)z-b

л=1-ш h=

Используя теорему сдвига во временной области (3-81) ,можно.упро-стить последнее выражение:



f C(z,m) = z-l f c[(k + m)T] z (3-200)

Мы определили следующие три альтернативных выражения для модифицированного z-преобразования сигнала: (3-194), (3-198) и (3-200). Эти выражения справедливы при различных условиях и применяются для разных целей. Выражение (3-194) справедливо для любого сигнала c(f), имеющего преобразование Лапласа для C(s) . Оно может быть использовано при вычислении модифицированного z-преобразования. Выражение (3-198) справедливо, если только с (0) = О, т. е. оно не действительно для временных функций, имеющих разрыв непрерывности при ? = 0. Выражение (3-200) является наиболее общим и справедливо для любого с (t).

В заключение отметим, что модифицированное z-преобразование функции с (t) обозначается следующим образом:

модифицированное z-преобразование с (?) = 5-[c(f)] =C(z,m).

(3-201)

Однако на практике C(z,m) определяют так же, как z-преобразование функции с запаздыванием c{t - AT) или c(t - Т + тТ), где О < Д < 1 и От < 1,т.е.

C(z,m) = [c(t - ДТ)] = f [c(t - Т + тТ)] (3.202)

Значения сигнала между моментами квантования определяют из C(z, т) при варьировании значения т (или Д) от нуля до единицы. Ясно, что при Д = .0 модифицированное z-преобразование сводится к обычному z-npe-образованию. Однако когда Д = О, тот = 1,и следующее выражение в общем случае несправедливо:

C(z,m) = C(z) (3.203)

Положив z = 1 в выражении (3-200) , получим

C(z,m)

= Z-1 f с[(к -t- 1)Т] z- = C(z) - с(0) (3-204)

Следовательно, выражение (3-203) в общем случае справедливо, только если с(0) = 0. Положив т= 1в выражении (3-198) , получим

I C(z,m) = Z C(s-Hjno.J

C(z) (3-205)

что обьясняется справедливостью выражения (3-198) только для с (0) = 0.

Применение модифицированного z-преобразования иллюстрируется на следующих примерах. (Таблицы модифицированного и обычного z-npe-образовайия можно найти в соответствующих учебниках и справочниках.)

Пример 3.16. Рассмотрим временную функцию с (t) = е (f > 0) ,гдео - постоянная. Используя выражение (3-200), определим модифицированное z-преобразование с (О:



Бесконечный ряд может быть представлен в кшгпк-шаьй jigiMe -таТ

C{z.m) = -- (3-207)

Поскольку с (0) # О, в этом случае С (z, 1) # С (z ) , что и предполагалось.

Подставляя преобразование Лапласа с (О в выражение (3-14), получим

C(z, i)=z

1 eTi

= z-l

(3-208)

Разложение G (z, /и) в ряд дает

C(z.m) = -I- eDT- -Ь ... + -imW-kD + ... (3-209)

Коэффициент этого бесконечного ряда при z равен значению с (f) между моментами квантования f = (к- 1)Тк1 = кТ,гаек= 1,2,... и О <т <1.

Выражение для модифицированного z-преобразования (3-198) можно использовать для определения передаточной функции системы, показанной на рис. 3.14. Так как преобразование Лапласа для выходного сигнала с (t)

C(s) = G(s)E*(s) (3-210)

то, подставляя это выражение в (3-198), получим

C(z,m)=4 Z G(s-1-jnw)E*(s Ч-jnw)e

1 -(l-m)T(s+jnu )

= E(z)i Z G(s-bjncoX

= E(z)G(z,m)

(3-211)

где G{z, m) - модифицированное z-преобразование C(s) . Приведенное выше выражение показывает, что модифицированное z-преобразование передаточной функции получается так же, как и z-преобразование функции времени, но уже в импульсной форме. Это можно продемонстрировать следующим образом:

[E*(s)] = E(z)

(3-212)

Следовательно,

frn = C(z,m) = [G(s)E*(s)] = G(z.m)E(z) (3-213)

Пример 3.17. Предпопожим, что система, показанная на рис. 3.14, имеет передаточную функцию

G(s)= (3-214)

где а - постоянная. Ко входу системы приложена единичная ступенчатая функция е(0 = Mj (f) . Необходимо определить выход системы с помощью модифищфовая-ного z-преобразования.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147