Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Сравнение выражения (3-173) с формулой обычного z-нреббразования показывает, что C(z)j может быть получено непосредственно из C(z) заменой z на z и 7 на T/N, т.е.

, C(z)n.= C(z)

z=zl/N (3.174)

T=T/N

Подставляя (3-171) и (3-173), получим

оо оо

> C(z)i.= Z Z r(mT)g(kT/N - mT)z-> (3-175) k=0 m=0

Положим v/TV = (kjN - /и), где v - целое число, тогда выражение (3-175) принимает вид

оо оо

C(z)n = Z g(vT/N)z-/n 2 r(mT)z- (3.I76)

v=0 m=0 Обозначая

[ G(z)n = f g(vT/N)z-/n G(z)

z=z ГЗ-177>

T=T/N (4 1)

запишем выражение (2-176) в виде

C(z) = G(z)iR(z) (3-178)

p. Проведенные преобразования позволяют сделать вывод, что реакция между регулярными моментами квантования может быть получена заменой z и 7 в обычной импульсной передаточной функции системы. Необходимо подчеркнуть, что, если в системе присутствует фиксатор нулевого порядка, на член передаточной функщт 1 - z~ замена 7= TjN и z = z]l влияния не оказьшает.*

Число требуемых дополнительных значений с (О определяет значение N. В общем, если т - число дополнительных точек, toN= т + I.

Пример 3.15. Пусть дискретная система, показанная на рис. 3.12, а, имеет передаточную функцию

ТП (3-179)

Входной сигнал А-(?) является единичной ступенчатой функцией. Период квантования равен 1 с. Требуется найти реакцию системы в моменты времени t = кТ1Ъ,к = 0,1, 2,...

На основании (3-178) z-преобразование выхода системы в дробные моменты квантования запишем как

C(z)3 = G(z)3R(z)

G(z)3=G(z)

.=,1/3 ze

z=z z=z Т=Т/3

(3-181)

ГГ=Т/3

* Если G(s) содержит фиксатор нулевого порядка, т. е. G(s) = Cf,o (s)Ci (s),

G(z)j = (1 - z-1) [ [Gi(s)/s]]=,l/N TT/N.



Следовательно,

,1/3

Ь 1/3 -1/3 Л/3

,1/3

0.717

(3-182)

z-Преобразование единичной ступенчатой функции R(z) - z/(z - 1). Тогда z-преобразование выхода системы при дробном квантовании 1/3

С(г)з = -гг-. (3-183)

- 0.717 1

Дробная степень z в последнем выражении затрудняет дальнейший анализ, поэтому введем новую переменную

Z3 = zl/3

Тогда выражение (3-183) перепишем в ввде

()3 гз - 0.717 ,3 1 (, o.717)(z-l)

Раскладывая С (z ) з в ряд по степеням Z3, получим -1

(3-184) (3-185)

С(г)з = 1-1- 0.7172- -I- O.SlSzg- + 1.368zg -I- O.gSz 4- 0.703z3 -I--I- 1.5042- + l.OSzg 4- 0.77Szg 4- 1.55zg 4-...

(3-186)

Коэффициенты разложения C(z)3 в ряд являются значениями с*(Г)з при t - = кТ/З, = О, 1,2,... . Переходный процессе* (Г)з показан на рис. 3.13. Метод дробного z-преобразования показывает, что в данном случае обычное z-преобразование привело бы к неверному результату.

Метод модифицированного z-преобразования. Другим методом определения реаквди дискретной системы между моментами квантования является метод модифицированного z-преобразования. Метод разработан как модификавдя обычного z-преобразования и предусматривает введение в дискретную систему фиктивной временной задержки.

Предположим, что требуется определить переходный процесс между моментами квантования для системы, показанной на рис. 3.14, а.Прежде всего соединим выход системы с блоком фиктивной задержки. Затем смещенный во времени выход системы проквантуем фиктивным квантователем (3.14,6) . Фиктивное время задержки равно AT, где значение Д лежит в пределах О < А < 1. Фиктивные квантователи синхронизированы с входным квантователем и имеют такую же частоту. Как видно на рис. 3.14,6 и поскольку сигнал c{t) остается неизменным, введение фиктивного квантователя не нарушает работу системы.

Выходной сигнал фиктивного квантователя с временной задержкой имеет виц

c*(t - ДТ) =

= f с(кТ-AT)5(t-kT) к=0

c(tl

(3-187)

Рис. 3.13. Переходный процесс в дискретной системе


2Г ЗТ 4Т 57



Ш eft)

G(S)

1 c(t)

eHt)

C(Z)

r * CU)

G(s)

1

eHt)

C(S}

ФиктиВмай временная завермка

Рис. 3.14. Дискретная система управления:

а - разомкнутая; б - с фиктивной временной задержкой

Z-Преобразование с* (f - ДТ) может быть выражено как

3[c*(t - ДТ)] = С(г,Д) =[c(t - ДТ)] f 6(t - кТ)

Lk=o

(3-188)

С(г,Д) =

C(s)e

-aTs

Свертка в последнем выражении

С(г,Д)=ГГ °°С()е-Т

27rJLJ

C-J

l e-T(s-s)

(3-189)

(3-190)

Интеграл в выражении (3-190) может быть определен вдоль линии с - /о°, с + /°° и полуокружности бесконечного радиуса, лежащей в левой или правой половине комплексной -плоскости (как на рис. 235) . Интегрирование по замкнутому контуру даст корректный результат для интеграла (3-190), если интеграл вдоль одной из полуокружностей равен нулю. Однако, если даже интегралы вдоль обеих полуокружностей конечны, результаты интегрирования по двум разным контурам будут различны.

Рассмотрим вначале интегрирование вдоль бесконечной полуокружности в левой половине -плоскости. Так как член е имеет полюс % = = - оо, то он расположен на бесконечной полуокружности в левой половине 1-плоскости. тобы преодолеть эту трудность, введем параметр

т=1-Д (3-191)

Поскольку о < Д < 1, значение т также лежит между нулем и единицей. Если ввести обозначение

(3-192)

C(z,m) = С(г,Д)

Д=1-т

выражение (3-190) примет вид i С(г,т)=[2С()е-Г е Те

1 - e-T(s-5)

(3-193)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147