Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Здесь Г - окружность, которая лежит в кольцевой области, определяемой выражениями

а, <?<2/02;

z >max(oi, 02, О1О2),

где о, и О2 - радиусы сходимости соответственно () и2 ().

Доказательство. Из определения z-преобразования /1 (О/2 (О запишем

;[fl(t)f2(t)l = 2 fi(kT)f2(kT)z- (3-119)

Для абсолютной сходимости этого ряда необходимо, чтобы модуль Z был больше, чем наибольшее значение Oi, 02 H0i02,T.e. z = max(Oi, 02,0102)- в

Можно записать/, {кТ) в виде соответствующего обратного z-преобразования

fi(T)=F,a)?-4 3.20)

где Г - окружность, включающая все особые точки{)~ Ч следовательно, III >0i. Подставляя (3-120) в формулу (3-119), получим

fi(t)f2(t)] =Щ< /2(kT)(riz)- (3-121)

Так как

F2(riz)= Zfarz)- (3.122)

абсолютно сходится для H z > а, или < z/o2, то выражение (3-121) принимает вид

с учетом условия

°1<1?1< (3-124)

Пример 3.12. Применим теорему о свертке в области изображений для определения z-преобразования функции /(f) = tf. Пусть/ (f) = f и / (f) = с°. Тогда

Fj(z) = - lzl>l = o (3-125)

(z-l)2

F2(z) = -L zl>e-T (3-126)

Подставляя (3-125) и (3-126) в формулу (3-118), получим



где г - окружность, лежащая в кольце i-frn < -к -l<l£l<-M. = lzk-T

\z\ >1.

Следовательно, контур интегрирования в выражении (3-127) включает в себя только те полюсы подынтегральной функции, которые соответствуют J = 1. Применяя теорему о вычетах к выражению (3-127), имеем

У [/i (0/2 ( О = Res -

t = 1

(zr-.- )

е=1 (z-.- )

(3-129)

что согласуется с результатом, полученным выше в примере 3.11.

3.6. ОГРАНИЧЕНИЯ МЕТОДА z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В предыдущих параграфах было показано, что метод z-преобразования является удобным средством анализа линейных щ1фровых систем. Однако методу z-преобразования присущи ограничения, и в некоторых случаях необходимо проявлять осторожность при его применении и интерпретации полученных результатов.

При применении z-преобразования надо учитывать следующие соображения.

1. z-Преобразование базируется на предположении, что квантованный сигнал представляет собой последовательности импульсов, площадь которых равна амплитуде входного сигнала квантователя в дискретные моменты времени. Это предположение справедливо только в том случае, если время квантования намного меньше определяющей постоянной времени системы.

2. z-Преобразование выходного сигнала линейной системы C(z) определяет значения времшной функции с (?) только в моменты квантования; C(z) не содержит информации о значениях с (г) между моментами квантования. Следовательно, для заданной функции C(z) ее обратное 2-преобразование с{кТ) описывает c{t) только в моменты квантования t=kT.

3. При анализе линейной системы методами z-преобразования передаточная функция непрерывной системы G{s) должна иметь полюсов, по крайней мере, на один больше, чем нулей; эквивалентным тербованием является отсутствие разрыва импульсной переходной функции для G (s) при f = 0. В противном случае процессы в системе, полученные с помощью метода z-преобразования, могут быть ошибочными.

При полном описании любой системы почти всегда требуется знать характер процессов между моментами квантования. На основе z-преобразования разработано несколько методов, позволяющих определять значения переходных процессов в цифровых системах между моментами квантования. Из них наиболее известны методы модифицированного z-преобразования и дробного квантования. Они описаны в п. 3.9.



3.7. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

До сих пор рассмотрение дискретных систем сводилось к изучению свойств и математического описания дискретных сигналов. Теперь проанализируем случай, когда ко входу линейной системы прикладывается дискретный сигнал.

- Для линейной разомкнутой системы с непрерывным сигналом r{t) на входе (рис. 3.8, а) соотношение вход-выход описывается передаточной функцией

с(., = И (з-во,

Если теперь на вход этой же системы приложить квантованный сигнал, как показан© на рис. 3.8, б, то преобразование Лапласа для выходного сигнала системы можно записать в виде

C(s) = R*(s)G(s) (3.131)

где R*{s) - преобразование Лапласа дискретного сигнала. Наша задача -найти способ описания цифровой системы в терминах z-преобразований C{z),R (z) и*С(z). Проше всего это сделать, получив с помошью выражения (2-85)

C*(s) - Z C(s -I- jno;) = f R*(s + jna;JG(s -I- jna;J (3-132) 1 n=- n=-

Используя тождество (2-104), получим

R*(s-I-jncoj = R*(s) (3-133)

Перепишем выражение (3-132) в виде

U*(s)=R*(s)= Z G(s-l-jna;J (3-134) n=-

Определяя

G*(s) = f G(s + jna;) (3-135) n=-~

из соотношения (3-134) получим

C*(s) = R*(s)G*(s) (3-136)

Переходя к переменной z{z - е), получим следующий вид выражения (3-136).:

C(z) = G(z)R(z) (3-137)

что является требуемым передаточным отношением для линейной системы с дискретным входным сигналом. Заметим, что выходной сигкал

Рис. 3.8. Линейная система с непрерывным (а) и дискрет- Рпвша/тнгтдатель

ным (б) входными сигналами ,---Л -Л

\ Si C*(s)

r(t)

G(s)

c(t)

C(s)

R(sj

rHt)

G(s)

\ cm

R*(s)

C(s)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147