Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

enzl=z-ldz (3-70)

Меняя порядок суммирования и интегрирования в последнем выражении, получим

f(kT) = Г* f F(s-I-jiwJe TMs (3-65)

Так как из выражения (2-85) следует, что

F*(s) = I F(s-bjka;) (3-66)

k=-

ТО уравнение (3-65) можно представить как f(kT)=; F*(s)eTsds

Подставляя z = е* в (3-67) и учитывая, что

F(s),= lg , = F(z) (3-68)

ek-ft = (3-69)

ds= d Получим

f(kT)=2 F(z)z-ldz (3-71)

Линия интегрирования от s = с - /(cos/2) до s = с + /(cos/2) отображается в окружность z = е на z-nnDCKOcra (рис. 3.7, б). Так как F*(s) на s-плоскости не имеет особых точек на линии интегрирования s = с + + /со, со G (-°о, >), или справа от нее, то все особые точки F(z)z ~ должны лежать на z-плоскости внутри окружности Г, z = е*.

Пример 3.7. Определим обратное z-преобразование функции F(z), заданной выражением (3-47), по формуле обращения (3-60). Подставляя (3-47) в (3-60), получим

где Г - окружность, включающая полюсы F{z), z = 1 и z = в Г Интеграл (3-72) может быть определен по теореме вычеюв, т.е.

Пт = £1 Следовательно,

(-l)(z-.-) Z>.r (3-74)

Результат совпадает с выражениями (3-50) и (3-55), полученными двумя предыдущими методами.

f(kT) = SRes F(z)z~ в полюсах F(z). (3-73)



3.5. ТЕОРЕМЫ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Использование z-отображения часто может быть существенно облегчено применением теорем z-преобразования. Ниже приводятся доказательства основных теорем z-преобразования и примеры их практического приложения.

1. Суммирование и вычитание. Если fi (г) и /2 (Г) имеют z-преобразования

Fi(z)=/[fi(t)] = f fi(kT)z- (3-75)

Fg) =tf2(t)] = f f (kT)z- (3-76)

соответственно, то

[fl(t) ± fgCt)] = Fj(z) ± F2(z) (3-77)

Доказательство. Из определения z-преобразования следует:

jifiX) ± fgCt)] = f [fi(kT) ± f2(kT)]z- = k=0

= У f, (kT)z- ± Z lAVDz = R (z) ± FJz) (3-78)

k=0 k=0 12

2. Умножение на константу. Если F{z) есть z-преобразование f{t),

/[af(t)] = a[f(t)] = aF(z) (3-79)

где a - константа.

Доказательство. Из определения z-преобразования следует:

J[af(t)] = f af(kT)z- = а Z f(kT)z-k = aF(z) (3-80)

k=0 k=0

3. Сдвиг no временной области. Если f{f) имеет z-преобразование F(z),to

;([f(t-пТ)] = z- F(z) (3-81)

[f(t -Ь пТ)] = z [f(z) - Zf(kT)z- J (3.82)

где n - положительное целое число. Доказательство. По определению

J {f(t - пТ)] = Z f(kT - nT)z-k (3-83)

что может быть записано как



/ [f(t - nT)i = I f(kT - nT)z-<b- > (3-84)

Предполагая, что/(О равно нулю при t<0, получим выражение (3-84) в виде

/[if(t - пТ)] = 2 f(kT - nT)z-<- > = z- F(z) k=n

Для доказательства (3-82) запишем:

(3-85)

[f(t + пТ)] = У f(kT + nT)z- =

= z Z f(kT + nT)z-(* > = z F(z) - Z f(kT)z k=0 L k=0

(3-86)

Пример 3.8. Найдем 2-преобразование единичной ступенчатой функции при задержке ее на один период квантования Т. Используя теорему о сдвиге во временной области (3-81), получим

(3-87)

/ lu,(t -Т)1 = z-Vl s(t)l = = Л

4. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (смещение в области изображений). Если /(f) имеет z-преобразование F{z), то

f[e*H{t)] = [F(s ± а)] Ts = FCze*) z=e

где а - константа.

Доказательство. По определению

(3-88)

f{eH(m = t f(kT)e iT2-k к=о

Положим Zi=ze*, тогда выражение (3-89) запишем в виде

(3-89)

[e tf(t>l = Z f(kT)z = F(zi) к=о

Следовательно,

5f[e+atf(t)] = F(ze* )

Пример 3.9. Найдем z-преобразование функции /(f) = е sintjf с помощью теоремы об умножении оригинала на экспоненту.

Из таблицы z-преобразований для е slnojf найдем

(3-90)

(3-91)

z2 - 2ze-coswT-f

а для smu)f

*[sinwt] =-=-

z - 2zcoscoT -f 1

(3-92)

(3-93)

Очевидно, что результат (3-92) может быть получен подстановкой ze в выражение (3-93) вместо z.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147