Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Дело в том, что в таблице z-преобразований обратное z-преобразование для выражения вида Al{z + а) отсутствует, хотя при положительном значении а член такого вида соответствует последовательности импульсов с экспоненциально затухающей амплитудой, когда присутствует временная задержка. Вместе с тем известно, что обратное z-преобразование функции AzI(z - е) равно Ае . Следовательно, удобнее разложить на простые дроби функцию F{z)jz. После разложения обе части выражения для. F{z)lz умножают на z для получения F{z).

Для функции, которые не содержат нулей (z = 0), соответствующая последовательность импульсов имеет временной сдвиг. Разложение функции F(z) на простые дроби представляются в обычном виде, т.е.

После чего находим

F,(z)=zF(z)= + +... (3-45)

Если найдено обратное z-преобразование функции (z), fi (к, Т), то обратное z-преобразование функции F(z) определяется следующим образом:

f(kT)= f-mz)] =

z-iFi(z) =fJ(k-l)T] (3-46)

Равенство в выражении (346) является прямым результатом соотношения (3-7), ecmfikT) = О для всех k<Q.

Пример 3.5. Дано г-преобразование

где а - положительное постоянное число; Т - период квантования. Используя метод разложения на простые дроби, найти обратное z-преобразование F(z), f(kT). Разложение F(z) /z на простые дроби дает

Следовательно,

= 71- (3-49)

Из таблицы z-преобразований может быть найдено обратное z-преобразование F(z) в виде временной функции, значения которой в моменты квантования определяются как

f(kT) = l-e- T (3-50)

Следовательно, дискретная временная функция может быть записана в виде

f*(t)= f (l-e- )6(t-kT) (3.51)

Заметим, что временная функция /(f) не мох<ет быть найдена из обратного



z-преобразования, так как оно не определяет значения функции между моментами замыкания.

2. Метод разложения в степенной ряд. Из выражения (3-7) следует, что обратное z-преобразование функции F(z) может быть определено разложением ее в бесконечный ряд по степеням z . Из выражения (3-7) получаем

F(z) = f(0) + f(T)z-l + f(2T)z-2 + ... + f(kT)z.- + ... (3-52)

Следовательно, коэффициенты ряда соответсвуют значениям f{t) в моменты квантования. Основное различие между методами разложения на простые дроби и в степенной ряд заключается в том, что первый метод дает решение для f{kT) в компактной форме, в то время как решением второго метода является последовательность чисел. Разумеется, оба метода эквивалентны, и для последовательности чисел также может быть записано выражение в компактной форме.

Пример. 3.6. Определить обратное z преобразование функции

z2-(l+e-T)z + e- T (3-53)

которая совпадает с функцией (3-47).

Последовательное деление числителя на знаменатель дает

F(z) = (1 -еТ)2-1 -t- (1 -e-2aT)z-2 -I-... (3-54)

В этом случае легко видеть, что

f(kT) = l-e- к = 0,1,2,..., (3-55)

и, следовательно,

f*(t)= Z (l-e-)6(t-kT) (3-56)

что совпадает с результатом (3-51), полученным методом разложения на простые дроби.

3. Метод, основанный на использовании формулы обращения. Интересно сравнить определения преобразования Лапласа и z-преобразования. Если для функции f{t) аргумента t существует преобразование Лапласа, то это преобразование Лапласа и z-преобразование функции /(г) соответственно равны:

F(s) =ЛЧт = J f(t)e-tdt

F(z)= /[f(t)] = f f(kT)z- (3.58)

k=o

Обратное преобразование .Лапласа определяем как

где с - абсцисса сходимости, которую выбираем таким образом, чтобы



nonmcbiF*(s).


C+joq

s-nnocKocmb

j3b)s

z-плоскости

ПолпсыГ(г)

:3lO

I г


Рис. 3.7. Контуры интегрирования на s- и z-плоскостях при использовании формулы обращения

особые точки подынтегральной функции F(s)e* лежали слева от нее. Можно показать, что для обратного z-преобразования существует аналогичное выражение

f(kT)= F(z)z-ldz

(3-60)

где Г - замкнутый контур (обычно окружность) на z-плоскости, включающий все особые точки F(z)z~ .

Подставляя t= кТв выражение (3-59), получим 1г 1 .c+j.

F(s)eMs

2JJc-i

Как показано на рис. 3.7, а, интеграл (3-61) берется вдоль прямой линии 0 = с, проходящей отдо +}°°. Эта прямая пересекает периодические полосы на s-плоскости, и, следовательно, интеграл (3-61) может быть представлен в виде суммы интегралов, каждый из которых берется в пределах одной периодической полосы. Тогда

f(kT)= Z F(s)elTsjjg p.g2)

где cos = 2nlT. Заменяя s на s + /гсоу, где г - целое число, получим выражение (3-62) в виде

f(kT) = Z

c-jWg/2

F(s -I- jiwje

kT(s+jicu )

d(s + jiwj

f(kT) = Z F(s + jia;3)eTsds

(3-63) (3-64)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147