Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

3.3. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ s- И z-ПЛОСКОСТЯМИ

Излучение соответствия между s- и z-плоскостями при преобразовании Z = е является весьма важным. Проектирование непрерывных систем управления часто основывается на анализе распределения нулей и полюсов передаточной функции системы на s-плоскости. Аналогично, полюсы и нули z-преобразования передаточной функции определяют реакцию системы в моменты замыкания. В этом параграфе рассмотрим отображение на z-плоскости заменой Z = е-некоторых часто используемых на s-плоскости кривых, таких, как линии постоянных коэффициента затухания и частоты и др.

Как показано на рис. 2-39, s-плоскость делится на бесконечное число; периодических полос. Основная полоса расположена в диапазоне частот от со = -coj/2 до +coj/2, дополнительные полосы расположены в диапазоне от -cos/2 до -3cos/2, от -Зсо/2 до -5coj/2 и т.д. для отрицательных частот и от cos/2 до 3cos/2, от Зсо/2 до 5cos/2 и т.д. для положительных частот. Если рассматривать только основную полосу (рис. 3.1, а), то контур (1) - (2) - (3) - (4) - (5) - (1), расположенный в левой половине s-плоскости, отображается преобразованием z = е в единичную окружность на z-плоскости с центром в начале координат, как показано на рис. 3-1,6.

Так как

(s+jnwJT

(3-37)

для целых и, то все другие дополнительные полосы в левой половине s-плоскости отображаются в тот же самый единичный круг на z-плоскЬсти. Все точки левой половины s-плоскости отображаются внутрь единичного круга на z-плоскости. Точки правой половины s-плоскости отображаются в область вне единичного круга на z-плоскости.

Ниже рассматривается отображение на z-плоскость для цифровых систем линий постоянных затухания и частоты и коэффициента затухания.

Линии постоянного затухания. Для постоянного затухания Oi на s-плоскости соответствующая кривая на z-плоскости представляет собой окружность с радиусом z = e° в с центром в начале координат (рис. 3.2).

Линии постоянной частоты. Для любой фиксированной частоты со = = coi на s-плоскости соответствующая линия на z-плоскости (рис. 3.3)

S-nnociiocmi>

jimi 2-плоскость



Рис. 3.1. Отображение основной полосы левойполовины s-плоскости на г-плоско9ть



S-плоскостд

jimz

Z-плоскость е6,т

Линии постоянного затухания


i \Евиничная окрутность Rez

Рис. 3.2. Линии постоянного затухания на s- и z-плоскостях

З-ллоскосто

jImz

Ъ-ппоскость


S-ппоскость Ш

Rez -с

Рис. 3.3. Линии постоянной частоты на Рис. 3.4. Линии постоянного коэффици-S- и z-плоскостях ента затухания на s- и z-плоскостях

z-ппоскость.


Z-плоскость


5~плоскость jd) Рис. 3.5. Линии постоянного коэффи- J3=30° циента затухания для /3 = 30° = 0,5) ; на S- и z-плоскостях

имеет вид луча, исходящего из начала координат под jthom б = со i Град. Угол измеряется от положительного направления действительной оси.

Линии постоянного коэффициента затухания. Линии, соответствующие постоянному коэффициенту затухания на s-плоскости, описываются выражением

s=-со tg jco (3-38)

На 2-плоскости оно примет вид

Z = = ехр (-2;:cotg/3/cos) ехр 027гсо/ оо), (3-39)

,где

f /3 = arcsini = const. (3-40)

Для заданного угла /3 линия постоянного значения описываемая уравнением (3-39), представляет собой на z-плоскости логарифмическуто



спираль (кроме значений /3 = Ои3=90 ). Отображение линии постоянного коэффициента затухания с s-плоскости на z-плоскость показано на рис. 3.4. Заштрихованные области на рис. 3.4, а к б соответствуют прут другу. На рис. 3.5 показаны линии на s- и z-плоскостях для /3 = 30 . Каждые пол-оборота логарифмической спирали соответствуют отрезку линии постоянного значения на s-плоскости при изменении частоты по мнимой оси на cos/2.

3.4. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Преобразование Лапласа и его обратное преобразование являются однозначными, т.е. если F(s) есть преобразование Лапласа для функции /(?), то f{t) является обратным преобразованием Лапласа для функции F{s). Для z-преобразования обратное z-преобразование не является однозначным. z-Преобразование f{t) определяется функцией F(z), а обратное z-преобразование не обязательно равно/(?). Корректный результат обратного z-преобразования функции F(z) есть f(kT), который равен /(f) только в моменты квантования t - кТ.

Рис. 3.6> иллюстрирует тот факт, что для z-преобразования единичной ступенчатой функции, которое равно z/ (z- 1) и соответствует последовательности единичных импульсов, обратное z-преобразование может быть любой функцией, значения которой равны единице в моменты f = О, Т, 2Т,.... Неоднозначность обратного z-преобразования является одним из ограничений, о котором необходимо помнить при применении аппарата z-преобразования.

Обратное z-преобразование обозначается как

/(/сГ) = [ F(z) ] = обратное z-преобразование F(z). (3-41)

В общем случае обратное z-преобразование может быть определено одним из следующих трех методов.

1. Метод разложения на простые дроби. Этот метод при небольшой модификации соответствует методу разложения на простые дроби в преобразовании Лапласа. При анализе непрерывных систем обратное преобразование Лапласа функции F(s) может быть получено разложением F(s) в виде

F(s) = --Ь+ -Г-+ (3-42)

S -Ь а S + b S + с

где а,Ъ, и с - отрицательные полюсы F(s) (здесь предполагается случай простых полюсов); А, В и С - вычеты F(t) в этих полюсах. Тогда обратное преобразование .Лапласа функции F(s) определяется как

f(t) = Ae- t + Be-bt + Се-* + ... (3-43) Для случая z-отображения F(z) не надо представлять в форме (342).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147