Si, S2, ... , Sk с кратностью mi, , ... ,mk соответственно,тоz-преобразо-вание F(s) с учетом выражения (2-94) запишем в виде

F(z)-:?- r-

(3-13)

(3-14)

3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ 2-1ХРЕОБРАЗОВАНИЙ

Выражения (3-10), (3-11) и (3-13) можно использовать для вычисления z-преобразований; Выражение (3-10) применяют, если задано f(t) или f{kT). Строго говоря, на временные функции или ряды никакие ограничения не накладываются, хотя для того, чтобы F{z) можно было выразить в компактной форме, бесконечный ряд в выражении (3-10) должен сходиться. Выражения (3-11) и (3-13) определяют z-преобразования функций, заданных в виде преобразований Лапласа F{s). Выражение (3-11) используется для функции F{s), которая имеет только простые полюсы, а (3-13) - для функции, которая имеет, по крайней мере, один кратный полюс.

Следующие примеры иллюстрируют нахождение z-преобразований для некоторых часто встречающихся функций. В инженерной практике полез-\ но использовать таблицы z-преобразований, которые можно найти в спра-вочниках и учебниках.

Пример 3.1. Найдем г-преобразование единичной ступенчатой функции Следуя процедуре нахождшия г-преобразования, изложенной в предыдущем параграфе, получим следующее:

1) единичная ступенчатая функция квантуется идеальным квантователем, при этом его выходным сигналом является последовательность единичных импульсов, описываемая как

u*(t) = 6 (t)= Z 6(t-kT)

(3-15)

2) применение преобразования Лапласа к обеим частям выражения (3-15) дает

,-kTs

(3-16)

где ряд сходится для е -} < 1, а чтобы выразить f (s) в компактной форме, умножим обе части выражения (3-16) на el и вычтем результат из (3-16), тогда

U*(s) = A.j,(s) =-Ц- для 1е-Т 1<1

1 - е

3) заменае наг в выражении.(3-17) дает U(z)=/[u(t)]=; 1 -

(3-17)

(3-18)

Для)г-Ч< 1илиг > 1.

Тот же результат можно получить, применяя формулу (3-11). Преобразование Лапласа Ug (t) равно 1/s и имеет простой полюс s = 0. Следовательно, из (3-11) имеем JV(s) = l,D{s) = s, л (s) = dDis)lds= I. г-Преобразование единичной ступенчатой функции

F(z) =

(3-19) -at

Пример 3.2. Найдем г-преобразование экспоненциальной функции /(f) = е где а - действительное постоянное число.

Не рассматривая процедуру решения детально, как в примере 3-1, подставим f(t) в выражение (3-10) и получим

F(z)= f f(kT)z-= 2 e-z- (3-20)

k=0 k=0

Бесконечный ряд сходится для всех значений г, которые удовлетворяют условию

Л-1<1 (3.21)

Чтобы получить выражение (3-20) в компактной форме, умножим обе части уравнения на eoTz~ и вычтем результат из этого же уравнения. После преобразований получим

F(z) =

-аТ,-1 , р-аТ

(3-22)

для I е °-z~ I < 1 или I г М < е.

Можно продемонстрировать, что применение выражения (3-11) ведет к тому же результату. Преобразование Лапласа et gcjj,

F(s) = - (3-23)

Эта функция имеет простой полюс s= -а.Ъ (3-11) N{s) = l,Dis) = s + a ulf (s) = = 1. Таким образом, из (3-11) получим

1 е-аТ,-1 , зТ

(3-24)

Пример 3.3. Найдем 2-преобразование функции /(f) = sinojf. Выражение (3-10)

дает

F(z) = Y, sincokTz- * (3-25)

-к=0

~к=0-2j- (3-26)

Этот бесконечный ряд сходится для z ~ < 1 и может быть записан в виде 1 11

После упрощений последнее уравнение можно представить как

F(Z):

zsino/r

(3-27) (3-28)

Теперь,-:применив (3-11) при

F(s)=Uf[sinc.t]=- (3-29)

получим

N(.s)=cj; D{s) =s + d (s) = 2s.

Функция F(s) имеет полюсы s = 5, =/cjhs = £j = -/ai. Следовательно,iV(51) = = (£2) = a так как iV (s) не зависит от s, то

Выражение (3-11) дает

F(z) =

(3-30)

что явно ведет к результату (3-28).

Пример 3.4. Найдем г-преобразование для линейной функции fit) = f Mj (о. Испопьзуя выражение (3-10),д1опучим

F(z) = Y, Wz- = Tz-1 + 2TZ-2 + ... (3-31)

Для представления F(s) в компактной форме, умножим обе части выражения (3-31) наг :

z-F(z) = Tz-2+ 2Tz-3-b...

Вычитая последнее выражение из соотношения (3-31), получим (1 - z-l)F(z) = Tz- + Tz-2 + Tz-3 + ...

Далее, повторяя процедуру, описанную выше, получим F (г) в форме

F(z) =

(l-z-l)2 (z-l)2

(3-32) (3-33) (3-34)

Преобразование Лапласа для/(0 = tUg(t) ecTbF(s) = 1/.?, при этом F(s) имеет двойной погаос s = 0. Следовательно, должна быть использована формула (3-13). .Определяем, что А: = 1, s, = О и г, =2. Тогда выражение (3-14) дает

t К 1

li-(i-l)!

Lds s Jo

Следовательно, if = 1 и = 0. Формула (3-13) дает г 1ч2-1,

I (2-i) U-il-e-T

что совпадает с результатом (3-34).

.Ts (z-l)=

(3-35)

(3-36)