Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147


\F(Jo)\

-Ws Uh~Wc 0 Wc Cds Ids




-til.



Рис. 2.38. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователи:

а - амплитудный спектр непрерывного входного сигнала /(f); б - амплитудный спектр выходного сигнала (tOj > 2cj£.) L .

Пример 2.2. В качестве иллюстрации применения соотношения (2-94) в случае кратных полюсов, рассмотрим преобразование единичной линейной функции идеальным квантователем. В этом случае

f(ty=tu (t)

(2-97)

F(s) =

(2-98)

Так как / (s) имеет двойной полюс s = О, то для определения F* (s) может быть использовано выражение (2.94).

Одному полюсу с кратностью 2 соответствует Л = 1 и - т, - 2. Из соотношения (2-95) следует

= 1 (2-99)

Kij=s2f(s)

ls=0

K,2 = s-F(s)

Окончательно из (2-94) получим Э 1

F*(s) = {-1)K

(1-е-Т)2

(2-100)

(2-101)

Вообще соотношения (2-83), (2-89) и (2-94) весьма полезны в случае определения преобразования Лапласа для сигнала, который проходит через идеальный квантователь. Соотношение (2-88) удобно использовать при построении частотных характеристик и частотном анализе.

Анализ соотношений (2-85) и (2-88) еще раз показывает, что идеальный квантователь является генератором гармоник. На выходе идеального Квантователя воспроизводится как спектр непрерывного входного сигнала /{t), так и дополнительные составляющие на частотах, кратных частоте квантования, причем амплитуды всех гармоник изменяются в l/T раз. Если предположить, что амплитудный спектр непрерывного входного сигнала имеет вид, показанный на рис. 2.38, а, то соответствующий ампли-



тудный спектр квантованного сигнала /* (t) при > 2сос будет иметь вид, показанный на рис. 2.38, б, где Wj - частота квантования; - наибольшая частота, содержащаяся в /(?). Если частота квантования будет меньше 2ыс, то в выходном частотном спектре появятся искажения из-за наложения дополнительных боковых полос.

2.8. ИМПУЛЬСНАЯ ТЕОРЕМА

Простое физическое рассуждение, сделанное в предыдущем параграфе относительно минимальной частоты квантования, необходимой для полного восстановления непрерывного сигнала, фактически отвечает на основной и достаточно важный вопрос о правильном выборе частоты квантования, если квантование применяется намеренно. При использовании в данной системе квантования часто задают вопрос: каковы ограничения на частоту квантования? Теоретически верхнего предела частоты квантования не существует, хотя любой реальный квантователь должен иметь конечную максимальную частоту преобразования. Теоретически, когда частота квантования достигает бесконечности, сигнал превращается в непрерывный. При рассмотрении идеального квантования необходимо пользоваться понятием бесконечной частоты квантования с осторожностью, так как в этом случае импульсы практически сливаются. Представляет интерес нижний предел частоты квантования. В этом случае интуитивно ясно, что если непрерывный сигнал изменяется во времени быстро, то квантуя его со слишком малой скоростью, можно потерять важную информацию о сигнале между моментами выборки. Следовательно, может оказаться невозможным восстановление исходного сигнала по информации, содержащейся в дискретных выборках.

Из амплитудных спектров, представленных на рис. 2.38, можно заключить, что наименьшая частота квантования для возможности восстановления сигнала равна 2 сос, где сос - наивысшая частота, содержащаяся в спектре f(t). Формально это положение известно как импульсная теорема. Теорема утверждает, что если сигнал не содержит частот выше, чем ojc радиан в секунду, он полностью описывается своими значениями, измеренными в дискретные моменты времени с интервалом Т= (1/2) X X (277/сос) секунд. Однако, реально на выбор частоты квантования влияют требование устойчивости замкнутых систем и другие практические соображения, которые могут сделать необходимым квантование сигнала с частотой более высокой, чем теоретический минимум. Более того, сигналы с ограниченным спектром физически не существуют в системах связи или управления. Все физические сигналы, существующие в реальном мире, содержат гармоники, покрывающие широкий диапазон частот. Но вследствие того, что амплитуды высокочастотных составляющих значительно ослаблены, предполагается, что сигнал имеет ограниченный спектр. Поэтому на практике эти факторы в сочетании с нереализуемостью идеального низкочастотного фильтра делают невозможным точное воспроизведение непрерывного сигнала по его дискретным выборкам, даже если выполняются условия импульсной теоремы.



Следует привести интересное замечание по поводу импульсной теоремы: сигнал все же может быть полностью определен при квантовании его со скоростью меньшей чем 2сос радиан в секунду, если в моменты выборки известна информация как об амплитуде сигнала, так и о его производных. Фогель [10] и др. доказали, что если сигнал не содержит частот больших чем cjc радиан в секунду, он полностью определяется значе-нш1ми /< (кГ), - 1) (кГ), ... , /(1) (кГ) и ПкГ), (к =0,1,2, ...), измеренными в дискретные моменты времени с интервалом Т= (1/2)Х X (п + 1) (27г/сос) секунд, где

- f(n)(kT) = dt

(2-102)

t=kT

Это означает, что если кроме значений f(kT) в моменты t = кТ (к =0,1, 2, ...) известны значения первой производной /(0>/ (Т), то максимально допустимый период квантования Т - 2nju)(.. Это вдвое больше периода, необходимого при измерении только /(кТ). Добавление каждой последуюшей производной позволяет увеличивать интервал между выборками до величины Т= (1/2) (и + 1) (27г/со£,), где п - порядок высшей производной, при условии, что для каждой выборки все производные низших порядков известны.

2.9. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА F* (s) НА s-ПЛОСКОСТИ

Два важных свойства выходного сигнала идеального квантователя следуют из выражения (2-85).

1. F* (s) является периодической функцией с периодом /со.

; То, ЧТО F*(s) обладает свойством периодичности, очевидно из выражения (2.85) и рис. 2.38. Аналитически это можно показать путем подстановки S + /mcoj вместо s в (2-83), где т - целое число. Подстановка дает

F*(s+jmcoJ= I f(kT)e = e-Ts (2-103)

к=0 к=0

так как е = 1 для целых ктлт. Следовательно,

F*(s-f jmco) = F*(s) (2-104)

где m - целое число. Другими словами, для любой данной точки s = Si на s-плоскости функция F* (s) имеет одинаковое значение для всех периодических точек S = Si + jmcjs, где т - любое целое число. Это свойство хорошо иллюстрируется рис. 2.39. Как показано на рисунке, s-плоскость разделена на бесконечное число периодических полос. Полоса между и> = = -cos/2 и со = cos/2 называется основной, а все остальные, соответствующие более высоким частотам, обозначаются как дополнительные полосы. Функция F* (s) имеет одно и то же значение для всех конгруентных точек в различных периодических полосах.

2. Если функция F(s) имеет полюс s = Si, то F*(s) имеет полюсы S = S1 + jmojs для любого целого т (от -о° до +°°).

Справедливость этого утверждения следует непосредственно из выра-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147