Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

начинается при f = 0. Подвергая обе части выражения (2-82) преобразованию Лапласа, получим

F*(s) = f f(kT)e-kT , (2.83)

что является изображением по Лапласу выходного сигнала идеального квантователя.

На рис. 2.37 показаны типичные входной и выходной сигналы идеального квантователя. Выходом идеального квантователя является последовательность импульсов, площадь которых равна значению входного сигнала в соответствующие моменты замыкания. Так как импульсная функция по определению имеет нулевую длительность и бесконечную амплитуду, импульсы на рис. 2.37 представлены стрелками, длица которых соответствует площади импульсов. Используя (2-74), можно получить выражение для F*(s) в иной форме. Так как bf{t) и p{t) связаны соотношением

6T,(t) = lim - p(t)

р- 0 Р

F*(s) = lim - F*(s) = lim - У p.O P P p.O P

= i X F(s + jnoj,) n=-

(2-84)

JnsP

-jno.T

F(s+ jnwj =

(2-85)

Однако соотношение (2-74) получаем интегрированием вдоль контура Гг, который охватывает правую половину ?-плоскости. Поэтому важно проверить сходимость интеграла, который берем вдоль полуокружности бесконечного радиуса. Используя выражение (2-69), найдем предел P*(s)/P при р->0:

(2-86)

F(?)

1 e-T(s-£)

(s-?)[l-e-T(-?)]


2Г ЗТ IT 5T S)

fit)

J fOr)

6T TT

f(7T)

fm) f(5T)

Нбт)

Поскольку функция l/[l - e ( имеет простой полюс в бесконечности на -плоскости, то в этом случае часть интеграла в выражении (2-86), которую мм берем вдоль полуокрулсности бесконечного радиуса в правой половине -плоскости, может и не стремиться к нулю. Действительно,

Рис. 2.37. Сигналы ццеального квантователя:

а - входной; б - несущий; в - выходной Pit) =f{t)8it)



если степень знаменателя F(0 по превышает степень числителя не более, чем на 2, интеграл вдоль полуокружности может иметь конечное значение или даже может расходиться. Следовательно, выражение (2-85) справедливо только в том случае, если у функции F(s) число полюсов на 2 или более превышает число нулей. Другими словами, входной сигнал f(t) не должен иметь разрыва при t=0.

ролее обшее выражение, чем (2-85), может быть пол)Д1ено для F* (s), если определить df(t) как четную функцию: при t = О импульс имеет амгоштуду 1/р и длительность от / = -р/2 до / = р/2 для рО. Пусть ряд Фурье для 57-(/) при всех значениях iT определяется как

щеСп = lIT, что может быть легко показано. Тогда, при t>0 имеем

(2-87)

Наличие члена S(0/2 в правой части выражения (2-87) объясняется тем, что для ? > О рассматривалась только половина импульса. Теперь подставим выражение (2-87) в соотношение (2-82), взяв преобразование Лап-jaca

F*(s)=Sp + Z F(s-fjno.) (2-88)

в случае идеального квантователя выражение для F*(s) аналогично выражению (2-64) и для простых полюсов имеет форму

где N( ) и D( ) определяются выражениями (2-65) и (2-66), соответственно.

Проигшюстрируем применение выражений (2-83), (2-85), (2-88) и (2-89) на примере.

Пример 2.1. Предположим, что единичная ступенчатая функция /(О = квантуется идеальным квантователем через каждые Т секунд. Из выражения {2S2) следует формула для выходного сигнала идеального квантователя

.f*(t) = У f(kT)6(t - кТ) = У 6(t - кТ) <2-90)

к=0 к=0

Преобразование Лапласа функции/*(f)

4 F*(s) = £ е = 1 + <?~* е * - ... = -- для е < 1. (2-91) t к=0 1-е~

Теперь применим ныражснис (2-89). Имея



поскольку TV (s) = 1 иП (s) = 1, из (2-89) получим F*(s)= -

(2-93)

1-е-Т

что совпадает с результатом (2.91).

Тот же результат, что и в выражении (2-93), можно получить, используя соотношение (2-88), хотя математически это гораздо сложнее. По этой причине выражение (2-88) редко используется для определения решения F* (s) в компактной форме.

Соотношение, схожее с выражением (2-67), может быть получено при наличии кратного полюса в случае идеального квантователя.

В заключение приведем математические выражения для описания идеального квантователя.

Представление в виде бесконечной последовательности импульсов во временной области:

Временная область

f*(t) = X f(kT)6(t - кТ)

Преобрйзование Лапласа

F*(s) = f f(kT)e-kTs к=0

(2-82) (2-83)

Представление в виде бесконечного ряда в частотной области F*(s) = +\ Z F(s + jnoj) (2-88)

Преобразование Лапласа [ F (s) имеет к простых полюсов ] Ji N(?J

к М( ) 1

F(g)= N(S)/D(?)

(2-89)

где - п-й простой полюсF(),п = \,2,... ,к.

Преобразование Лапласа [F(s) имеет к полюсов с кратностью ш >

>1]

F*(s) = У У -7-- - Дт( )

(s-s ) F(s)

(2-94)

Ts

(2-95) (2-96)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147