Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147


Рис. 13.12. Диаграммы состояния цифровой системы управления

С(Н) Бивалентных квантователей по уровню. Рассмотрим типовой цифровой регулятор первого порядка с передаточной функцией

U(z) = l±bz 1 + az-

<1) (13-52)

Диаграмма состояний регулятора показана на рис. 13.12, й, а на рис. 13.12, б представлена модель регулятора с учетом квантователей. Диаграмма состояний, на которой квантова-С {Н) тели заменены ветвями с единичным коэффициентом передачи и внешними источниками ±h/2 амплитудой сигналов ± (?/2,

В) показана на рис. 13.12, е. Прея-

полагается, что все четыре квантователя имеют одинаковый шаг квантования по уровню.

Без учета квантования запишем уравнения динамики регулятора непосредственно на основе рис. 13.12,с:

Xj(k + l) = -axj(k) + u(k) c(k) = (b-a)xj(k) + u(k)

(13-53)

(13-54)

Для системы с квантователями уравнения динамики могут быть представлены в виде

Xqi(k -К 1) = -aXqj(k) -Н u(k) ± q Cq(k) = (b-a)Xqi(k) + u(k)±2q

(13-55) (13-56)

Наименьший предел верхний ошибки квантования для переменной состояния л: j (А) определяется как

ех(к) = х(к)-х(к)

Из уравнений (13-53) и (13-55) получим

е{к + 1) = -ае{к) ± q Решение последнего уравнения имеет вцц

e(N) = (-а) е(0) + Y (-aj-l-Ctq)

к=0 ,

Модуль установившегося значения

lim е JN)

lim Y (-a)--±q) N- k=0

1 + a

(13-57) (13-58)

(13-59) (13-60)



Наименьший верхний предел ошибки квантования для выхода может быть получен из уравнений (13-54) и (13-56);

e(N) = c(N) - c (N) = (b - a)e(N) ± 2q

егося зна 2-l-a+b

Следовательно, модуль установившегося значения

lim е (N)

= fb-a)q + 2a = 2±i H-a H-a Ч

(13-61)

(13-62)

Анализ на основе метода z-преобразования проводится на основе определения z-преобразований x1 (к) hxj (к) как функций эквивалентных источников сигналов, показанных на рис. 13.12. Тогда

-Z +qz

E,(z) = X,(z)-X,(z)=

(13-63)

Начальными условиями в выражении (13-63) можно пренебречь, так они не влияют на установившуюся ошибку. Следовательно,

lim e,(N)

lim(l-z-l)E (z) z->l

(13-64)

что согласуется с результатом (13-60)

Аналогично наименьший верхний предел ошибки квантования для выходного сигнала системы может быть получен при определении его z-преобразования:

Ep(z) = C(z)-Cq(z) =

1 + bz-1

Следовательно,

Hm ep(N)

1 + а Ч

l-1-az

lim(l-z-)Ep(z) z- l

-I- 1

±az

Z-.1

1 -I- bz-

H-az

-I-1

(13-65)

(13-66)



список ЛИТЕРАТУРЫ

I. Той J. Т. Digital and Sampled-Data Control Systems. McGraw-HiU, New York. 1959. (Опубликован перевод: Ту Ю. Т. Цифровые и импулы;ные системы автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1964).

2. Johnson, О. W., Upper Bound on Dynamic Quantization Error in Digital Control Systems via the Direct Methods of Liapunov, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-10, Qctober 1965, pp. 439-448.

3. Sage, A. P., and Burt, R. W., Optimum Design and Error Analysis of Digital Integrators for Discrete System Simulation, AFIPS Proc, Vol. 27, Part 1,1965, pp. 903-914.

4. Smith, F. W., System Laplaee-Transform Estimation From Sampled-Data, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-13, February 1968, pp. 37-44.

5. Katzenelson, J., On Errore Introduced by Combined Sampling and Quantization, . IRE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-?, April 1962, pp. 58-68.

6. Kramer, R., Effect of Quantization on Feedback Systems With Stochastic Inputs, Report No. 7849-R-9, M.I.T. Electronic Systems Lab., Jqne 1959.

7. Kramer. R., Effects of Quantization on Feedback Systems With Stochastic Inputs, IRE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-6, SepteYnber 1961, pp. 292-305.

8. Greaves, C. J., and Cadzow, J. A., The Optimal Discrete Filter Corresponding to a Given Analog Filter, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, June 1967, pp. 304-307.

9. Brule, J.- D., Polynomial Extrapolation of Sampled Data With an Analog u)mputer, IRE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-7, January 1962, pp. 76-77.

10. Monroe, A. J., Digital Processes For Sampled Data Systems. John Wiley & Sons, New York, 1962.

II. Knowles, J. В., and Edwards, R., Finite Word-length Effects in Multirate Direct Digital СогДго1 Systems, /Voc. lEE, Vol. 112, December 1965, pp. 76-84.

12. Phillips, C. L., Instabilities Caused by Floating-Point Arithmetic Quantization, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-17, April 1972, pp. 242-243.

13. Divieti, L. D., Rossi, C. M., Schmid, R. M., and Verschkin, A. E., A Note on Computing Quantization EiTors in Digital Control Systems, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, October 1967, pp. 622-623.

14. Slaughter, J. В., Quantisation Еггьк in Digital Control Systems, IEEE Trans, on Automatic Control, Vol. AC-9, January 1964, pp. 70-74.

15. Bertram, J. E., The Effects of Quantization in Sampled-Feedback Systems, Trans. AIEE (Applications end Industry), Vol. 77, September 1958, pp. 1,7-181.

16. Johnson, G. W., Upper Bound on Dynamic Quantization Error in Digital Control Systems Via The Direct Method of Liapunov, Trans, on Automatic Control, Vol. AC-10, October 1965, pp. 439-448.

17. Cuny, E. E., The Analysis of Round-Off and Truncation Errors in a Hybrid Control System, Trans, on Automatic Control, Vol. AC-12, October 1967,pp. 601-604.

18. Kuo, B. C, and Tal, J., ed.. Incremental Motion Control. Vol. I, DC Motors And Control Systems, SRL Publishing Company, Champaign, 111., 1978.

19. Kuo, B. C, The z-Transform Describing Function for Nonlinear Sampled-Data СЪп-trol Systems, Proc. of I. R. E., 43, No. 5, May 1960, pp. 941-942.

20. Intel 808C Microcomputer Systems Users Manual, Intel Corporation, Santa Clara, Calif., September 1975.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147