Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147

Таблица 13.2

с(к)

е(к)

е,(к)

0.58000

0.29000

0,31250

0,31250

6,15625

0,18750

0,18750

0,09375

0,12500

0,12500

0,06250

0,06250

0,06250

0,03125

0,06250

0,06250

0,03125

0,06250

0,06250

0,03125

0,06250

0,06250

0,03125

0,06250

ной задачей, которая может быть решена, например, методом дискретной описываюшей функции [ 19].

Так как ошибка квантованного сигнала имеет наименьший верхний предел ± ql2, то наихудшая ошибка в цифровой системе управления вследствие квантования по уровню может быть определена при замене квантователя внешним источником шума с амплитудой сигнала ± /2. Для определения наименьшего верхнего предела установившейся ошибки вследствие квантования по уровню цифровая система (см. рис. 13.10, б) может быть представлена в эквивалентном виде (рис. 13.11).

По рис. 13.11 при г (/с) = О можно получить установившееся значение с (/с) в виде

limc(k) = lim(l-z-l)C(z) = к- z->l

1 z-1 (±q/2)z

(13-34)

Следовательно, в этом случае наименьший верхний предел ошибки, предсказанный по эквивалентной системе с источником шума совпадает с расчетным значением для нелинейной системы. Однако, если применить этот метод к системе (см. рис. 13.10,а) ,то верхний предел ошибки квантования для с(к) , полученный из эквивалентной схемы, будет равен ± q/3. Выше было показано, что система имеет предельный цикл, и амплитуда колебаний изменяется от - q т + q. Следовательно, можно сказать, что анализ ошибки квантования с помошью эквивалентных источников шума не позволяет предсказать появление предельного цикла в системе. В общем слзае для проектируемой цифровой системы необходимо исследовать как установившуюся ошибку, так и характеристики предельного цикла.

Рис. 13.11. Схема цифровой системы управ-ленил с квантователем для определения наименьшего верхнего предела установившейся ошибки




Метод пространства состояний. Для анализа наименьшего верхнего предела ошибки квантования по уровню в системе могут быть использованы метод пространства состояний или метод z-преобразования. Пусть уравнение динамики цифровой системы без квантования по уровню имеют вид

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (13-35)

с(к) = Dx(k) + Eu(k) (13-36)

где х(к) , и{к) и с (к) - соответственно н-, г- и р-мерный векторы. Предположим, что система имеет т квантователей по уровню, которые преобразуют сигналы в системе. Уровни квантования этих т квантователей обозначим как Qj, i = 1,2, т. Как бьшо показано выше, т квантователей можно заменить входньпчи сигналами с амплитудами ± ,-/2, г = 1,2,ш. Тогда цифровая система управления будет описываться следующими уравнениями динамики:

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) + Fq (13-37)

Cg(k) = Dx(k) + Eu(k) + Gq (13-38)

где x {к) - вектор состояния размерностью и X 1; Сд{к) - вектор выхода размерностью р X 1; F - матрица размерностью пХт, учитывающая связь между х (/с + 1) и эквивалентньпчи источниками шумов; G - матрица размерностью рХт, представляющая собой зависимость с(к) от q, где q - вектор вида

±qi/2

(13-39)

±9/2

Обозначим ошибку квантования по уровню в векторе состояния на к-м шаге выборки как (к) , тогда

ек) = х(к) - х(к) (13-40

Вычитая уравнение (13-37) из (13-35) , получим

е(к + 1) = Ае(к) - Fq Аналогично разность между уравнениями (13-36) и (13-38)

ejk) = с(к) - с(к) = De(k) - Gq

где Сс (к) - ошибка квантования по уровню в выходном сигнале Сд (к) на к-м шаге выборки.

Решение уравнения (13-41) при А: = Л есть N-1

е Ш)= Ае Ш)- X A--lFq (13-43)

к=0

где г-й элемент (N) можно записать как

(13-41)

(13-42)



m N-1

i= 1,2,n, где представляет собой /-Й столбец матрицы F. Для асимптотически устойчивой системы

lim а = О

(13-44)

(13-45)

Наименьший верхний предел установившейся ошибки квантования для г-го состояния есть

lim ei(N)

m N-1 q.

pдN-k-lp J.

lim У У

N- jti k=0

i=l,2,...,n (13-46)

Аналогично наименьший верхний предел установившейся ошибки квантования для г-го выхода может быть получен из уравнения (13-42):

lim ei(N)

N- >

lim у

У DjA k=0

N-k-lp

(13-47)

где D,- - матрица размерностью 1 X и, сформированная из г-й строки матрицы D; - г>-й элемент матрицы G; / =1,2,...,р; /= 1,2,...,т.

Метод z-преобразования. Метод определения наименьшего верхнего предела ошибки квантования на основе теории z-преобразований проще, чем при использовании метода пространства состояний. Переходя к z-npe-образованиям в обеих частях уравнения (13-41) и решая его относительно Ejc(z),nanyiHM

E(z)=(zl-A)-4(0)-(zI-A)-lFq (I3.48)

Тогда г-й элемент матрицы Ех (z) можно записать как

E,(z)=R(zI-A)-e(0)- p,(zI-A)-lF3 Наименьший верхний предел ошибки квантования для /-го состояния

lim е (N) N+~

im(l-z-l)Ei(z)

s 1 q-

lim Y Pi(zl - A)-F. z- i j=i

Аналогично для выхода

lim ei(N) N-~

lim У

z.l jul

Di(zl-A)-Fj-gij

5i 2

(13-50)

(13-51)

Следзтощий пример иллюстрирует методику анализа наименьшего верхнего предела ошибки квантования.

Пример 13.3. Цифровой регулятор в системе управления обычно реализуется в виде программы, поэтому округление чисел необходимо учитывать с помощыо эк-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [ 145 ] 146 147