Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

будет иметь место, даже если частоту квантования сделать больше грарич-ной частоты. Физический смысл эффекта наложения и его влияние на характеристики цифровых систем управления будут рассмотрены ниже.

Преобразование Фурье сигнала ft), (fco), определяемое, соотношением (2-44) или (245), весьма полезно для иллюстрации эффектов квантования в частотной области. Оба выражения показывают, что преобразование Фурье проквантованного сигнала fp*(t) может быть получено сдвигом аргумента преобразования Фурье F(fco) непрерывного во времени сигнала f(t) на величину-/ncoj и умножением его на С . Однако выражения для F (/со) не удобны для аналитического исследования, так как представлены в виде бесконечных рядов.

Альтернативное описание квантованного сигнала fp* {t) в области изображений можно получить с помощью теоремы о свертке в преобразовании Лапласа. Преобразование Лапласа для fp *(t) [см. соотношение (2-33) ] запишем в виде

Fp*(s)=uf[f*(t)] =uf[f(t)p(t)] (2-51)

где буква JL означает операцию преобразования Лапласа. Соотношение (2-51) можно записать в виде

Fp*(s) = F%) * P(s) (2-52)

где символ * означает операцию свертки в преобразовании Лапласа; F{s) iiP(s) - изображения по Лапласу функций f{t) яр (t), соответственно.

Определим сначала изображение по Лапласу функции р (t). Подвергнем преобразованию Лапласа обе части соотношения (2.31), тогда

Суммирование в выражении (2-53) начинается при /с = О, так как одностороннее преобразование Лапласа определяется для 0<t<°°. Бесконечный ряд в (2-53) можно записать в компактной форме

1 - е-Р

Подставляя P(s) из последнего уравнения в выражение (2-52), получим

Ер*( ) = * (ТТ (2-55) Из теоремы свертки следует, что

Fp*(s) = 2/ F(?)P(s - )d (2-56)

Тогда, используя выражение (2-54), соотношение (2-55) можно представить в виде

c+j- I e-p(s-E)

1 r*

P 2;Je-j (s-)[l-e-(-E)l (2-57)



где I - переменная интегрирования; Cj < с < а- Oz; а>max(ai ,02,01 + + 02); о - действительная часть х: Oj и Oj - абсциссы абсолютной сходимости функций F(?) и/С?),соответственно. Частично интеграл в выражении (2-57) берется вдоль прямой линии от = с - / до ? = с + / 0° на комплексной -плоскости (рис. 2-35).

Интеграл в выражении (2.57) может быть определен интегрированием по контуру, образованному линией от = с-/о°до = с+ /°°и полуокружностью бесконечно большого радиуса, охватываюшей правую или левую часть -плоскости. Значение контурного интеграла может быть вычислено с помощью теоремы вычетов теории функций комплексной переменной. Другими словами, выражение (2-57) может быть записано в виде

1 - e-P( -S) 2-J ir./(s-0[l-e-r(-t)] ~

(2-58)

2-F*(s)

1 л 1 - e-P(s-f)

- p-P(s-f)

1 e-P(s-{)

(s-?)ri-eT(s-t)] 1 - eP**-*)

dS -

(2-59)

(s-)[l-e-T(-t)] где Fi и Г2 - замкнутые контуры, включающие левую и правую часть 1-плоскости, соответственно. Оба контура показаны на рис. 2.35.

S-ППОСКОСГПб


C+Joo


C-joa

Рис. 2.35. Контуры интегрирования в правой и левой частях -плоскости



Для того чтобы иепользовать теорему о вычетах, необходимо исследовать полюсы и нули функций и P(s - %). Обычно полюсы F{i,) расположены в левой части -плоскости или на мнимой оси и их число конечно; функция/(s- ) имеет простые полюсы

= S + -- -= S + JniOg, ~°°<п (целое) < °°, (2-60)

где Т - период квантования; coj - частота квантования. Из выражения (2-60) следует, что число полюсов P(s-- ) бесконечно, и они расположены на -плоскости вдоль прямой Re () = Re (s) с интервалами псо (и = = О, ±1, ±2, ...). Типичное расположение полюсов F{) iiP(s~ ) показано на рис. 2.35. Если функция F{) имеет число полюсов хотя бы на один больше, чем нулей, т.е.

limF()=0 (2-61)

ТО вторые члены в правой части выражений (2-58) и (2-59) равны нулю, поскольку интегралы вдоль полуокружностей бесконечного радиуса исчезают. Тогда уравнение (2-58) принимает вид

Из теоремы о вычетах следует, что значение контурного интеграла (2-62) равно сумме вычетов подынтегральной функции, определенных в тех ее полюсах, которые попадают внутрь замкнутого контура Fi. Следовательно,

F*(s)= 2;Res[F(0 -- .-] в полюсах F(s). (2-63)

Если предположить, что F(0 является рациональной функцией с к простыми полюсами, то выражение (2-63) примет вид

= inn- Г -T(s-, )1 (2-64)

Ш (2-65)

(2-66)

DU ) =

- п-й ПОЛЮС F(); п = 1,2,... к. Предположим, что F() - рациональная алгебраическая функция, имеющая к различных полюсов Si, $2, ... , s, причем s имеет кратность И2 , л = 1,2,...,/с, 772 > 1. Тогда



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147