Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141 142 143 144 145 146 147

Поскольку матрица Аг представлена в сопряженной канонической форме фазовой переменной, ее последний столбец состоит из коэффициентов характеристического уравнения:

М - А I = -I- а,Л 2 -t, а Х

2,- -V , .j,v ,. 2 + + <п-2 + n-l = О (12-88) Если восстанавливаемый вектор пониженного порядка Wg {к) определен, то Wg {к) описывается соотношением

w(k) =

с(к)

(12-89)

Тогда

хЛк)= (QP)-iwfk)

(12-90)

что представляет собой искомое преобразование, которое показано на рис. 12.6.

Эффективность наблюдателя пониженного порядка анализируем далее путем сравнения восстановленного состояния Wg (к) с действительным состоянием w(fc) . Вычитая уравнение (12-83) из (12-78) , получим

w(k + 1) - w(k + 1) = A2[w(k) - w(k)] (12-91)

Поскольку w {k) = c(fc) = vvg (fc), последнее соотношение преобразуется к вццу

w(k + 1) - Wg(k + 1) = А2 [w(k) - w (к)] (12-92)

Таким образом, динамика приближения Wg (к) к w(fc) определяется собственными значениями матрицы Аг . Поскольку преобразование (12-90) не является динамическим и Wg (fc) = c(fc), процесс восстановления (и - 1) переменных состояния вектора х{к) также зависит от собственных значений А 2.

Пример 12.4. Рассмотрим еше раз цифровой процесс, описанный в примере 12-1. Предположим вначале, что система является разомкнутой. Уравнение состояния имеет вцд

х(к + 1) = Ах(к) -I- Ви(к)

(12-93)

0 1

-1 1

Уравнение выхода удовлетворяет соотношению с(к) = Dx(k) = [2 0]х(к)

(12-94)

Задача состоит в синтезе наблюдателя первого порядка для рассматриваемой системы. Матрица Р, преобразующая А в сопряженную каноническую форму фазовой перау1енной, описывается выражением (12-66) . Запишем матрицу Аг [см. уравнение (12-77) ] для системы второго порядка в виде

А2 =

32 + ajuj

-aj+aj

(12-95)



где ai и 32 - коэффициенты характеристического уравнения матрицы А, т. е.

1М-А = х2-Х+1 = 0 (12-96)

Таким образом, в соответствии с уравнением (12-60) ai =jl и а2 = 1. Коэффициент ai берется из характеристического уравнения матрицы Аг, которое имеет ввд

X -1- = О

(12-97)

Преобразованный наблюдатель пониженного порядка описывается соотношениями

Wg(k -f- 1) = A2W(k) -1- Е2С(к) -1- B2U(k)

Wg(k) = [Wg(k) c(k)l 2 = - !

(12-98) (12-99)

Eg = -Q - a2 + aa = -a ~ 1

B2 = 2

Чтобы получить апериодический переходный процесс для ошибки наблюдателя, положим коэффициент CCi равным нулю. Уравнение (12-98) примет ввд

w(k +1) = -с(к) + 2и(к) (12-100)

Диаграмма состояния для системы с наблюдателем первого порядка представлена на рис* 12.7. Для произвольных начальных состояния х(0) и giO) можно показать, что Xg (А) принимает значение X(А) приА;> 1.Длях(0) =[1 0],We(0) = = 0,5 и м(А) =0 при всех к в табл. 12.1 представлены значения переменных состояния системы для к <5.


Рис. 12.7. Наблюдатель пониженного порядка и разомкнутая цифровая система

Таблица 12.1

Функция

xi(k)

x,i(k)

Х2(к)

е2(к)

1,25

w(k)

0,50

с(к)




Рис. 12.8. Наблюдатель пониженного порядка и замкнутая цифровая система

Рис. 12.9. Переходные процессы в цифровой замкнутой системе с наблюдателем состояния пониженного порядка

-0,5 -1.0

1.0 0.5

-0,5 -1,0

.,d s 7 е н

в замкнутой системе и(к) - - Gxg(A:), где матрица обратной связи G описывается выражением (12-33) . Подставляя соотношения (12-99) , (12-90) и выражение для управления в уравнение (12-100) , получим

W (k-l-l) = -c(k)-2GxJk) =

= -2xi{k) + [1,308 -0,972]

Xj(k)

0,5w(k)-l-xi(k)

(12-101)

w(k + 1) = -l,664xj(k) - 0,486wjk) (12-102)

Уравнения состояния цифровой системы (12-93) с учетом обратной связи по состоянию имеют вцд

Xi(k-И) = Х2(к) , (12-103)

Х2{к + 1) = -0,832xi(k) -( XgCk) - 0,243wjk) (12-104)

На рис. 12.8 представлена диаграмма состояния замкнутой системы с наблюдателем первого порядка.

Чтобы получить переходные процессы для х (А) и Wg (А) , А = 1,2, ....необходимо решить уравнения (12-102) - (12-104) при заданных начальных условиях х (0) =[ 1 0] и v%(0) = 0.5. Восстановленные состояния Xg(A:) определяются из выражения (12-90), а именно:

Mk) = WeW =

хЛк)

0.5Wg{k) Ч- Xj(k)

(12-105)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141 142 143 144 145 146 147