Космонавтика  Декомпозиция цифровых систем 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [ 138 ] 139 140 141 142 143 144 145 146 147

Матрица обратной связи наблюдателя находится с использованием (12-45) :

G, = P-4 =

(12-67)

что совпадает с результатом, полученным выше [см. уравнение (12-34) ].

12.3. СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ СОСТОЯНИЯ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА

В предьщущих параграфах рассматривалась методика синтеза наблюдателя полного порядка. Другими словами, порядки наблюдателя и системы совпадали. В общем случае, поскольку q выходных переменных являются линейными комбинациями п переменных состояния, необходимо восстанавливать не более п - q состояний. Эта идея реализуется в наблюдателе пониженного порядка. Так как в системе, описанной в примере 12-1, с (Л) = 2xj (А ) , фактически можно определить Xi {к) непосредственно по результату измерения с {к) без какого-либо наблюдателя. В этом случае необходим наблюдатель только первого порядка. Однако следует отметить, что при определении q переменных состояния непосредст-всипо по вь1ХОду системы имеется меньше возможностей в обеспечении требуемой динамики наблюдателя пониженного порядка.

Принцип действия наблюдателя пониженного порядка иллюстрируется структурной схемой па рис. 12.6. Этот наблюдатель имеет порядок, равный п - /.Компоненты н-мерного вектора состояния Xg (Л) образуются из п - q восстанавливаемых состояний в виде вектора Wg (к) и -мерного вектора выхода с{к).

Наблюдатель пениженного порядка может быть спроектирован с ис-пользовшшем принципа преобразования к сопряженной канонической форме фазовой переменной. Рассмотрим вначале систему с одним выходом и одним входом:

х(к ч- 1) = Ах(к) -I- Ви(к) (12-68)

c(k)=Dx(k) (12-69)

которая является управляемой и наблюдаемой. Система преобразуется к сопряженной канонической форме фазовой переменной

у(к+ 1)= Ajy(k)+ B,u(k)

(12-70)

Преобразобание

Цифровая система

Наблюдатель пониженного порядка

Рис. 12А. Цифровая система с наблюдателем пониженного порядка



где Al = PAP описывается выражением (12-48), а В, = РВ. Уравнение выхода преобразуется к виду

с(к) = Оу(к) , (12-71)

у(к) = Рх(к)

Dj = DP-l =[0 0 ... 1]

(IXn)

(12-72)

Наблюдатель полного порядка для системы (12-68) и (12-69) описывается уравнением

х(к + 1) = (А - GD)xJk) + Bu(k) + Gc(k) (12-73)

где Gg - (к X 1) -мерная матрица обратной связи наблюдателя. Наблюдатель полного порядка для системы, представленной в сопряженной канонической форме фазовой переменной (12-70) и (12-71), описывается уравнением

yjk -1- 1) = (Aj - KDj)yJk) + Bju(k) -1- Кс(к) (12-74)

где Kg - (к X 1) -мерная матрица обратной связи наблюдателя. Поскольку Di имеет форму, удовлетворяющую соотношению (12-72), это означает, что с (к) = у (к) , так что необходимость в восстановлении у {к) отпадает. Чтобы восстановить оставшиеся (и- 1) состояний у(fc) и иметь возможность произвольно размещать собственные значения, положим

1 О О 1

О -а О -а

п-1 п-2

Q = Тогда

0 0.

о о . 1 о о 1

о о о о

1 -а.

(п X п)

(12-75)

О а О Q

(12-76)

Заметим, что QQ = I (единичная матрица) . Положим

Ag = QAjQ-l =

1 О о 1

п-1

п-2

-а + а,а

-п 1 п-1

-°l°n -V2 +3l°n

(12-77)

0 0 0 0

-af - a + a, a

-aj -t- aj



(12-78) (12-79)

(12-80) (12-81)

Преобразуем теперь систему с переменными состояния у (fc) к следующей системе

w(k-l- 1)= A2w(k)-l- B2u(k)

с(к) = D2W(k) где\у(/:) = Qy(fc).

Матрица Аг определяется соотнощением (12-77) , а Вг = QBj ,и

D2 = DjQ-l =[0 0 ... 1]

Наблюдатель, восстанавливающий w(fc) ,.имеет форму

wjk + 1) = A2W(k) -1- B2u(k) + LD2[w(k) - wjk)]

Поскольку описывается соотнощением (12-80), получаем с (к) = - wij(fc), т. е. п-я компонента вектора состояния w(fc) является выходной пер сменной ,.5 так что ее не нужно восстанавливать. Поэтому Wg (fc) = w (fc) и

LD2[w(k)-wJk)] =0 (12-82)

Уравнение (12-81) принимает вид

wjk-1- 1) = A2wjk) + B2u(k) (12-83)

Теперь основная цель состоит в преобразовании наблюдателя (12-81) в наблюдатель (и - 1) -го порадка с возможностью в то же время произвольно располагать его собственные значения. Уравнение (12-83) представим в следующем виде:

(12-84) и(к)

Таким образом, наблюдатель (и - 1) -го порядка описывается уравнением

w(k + 1) .

А2 ; Е2

W3(k)

We (k+1)

0 0 ... 1 1 -а -1-

с(к)

w(k -1- 1) = AwJX) + Е2с(к) -1- B2u(k)

А =

... 0

-n-l

... 0

... 0

Е =

О О

(12-85)

(12-86)

1 -а.

а -1- а, а.

1 2

иВг - [ (и- 1) X 1]-мернаяматрица.

(12-87)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [ 138 ] 139 140 141 142 143 144 145 146 147